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euklidische Algorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mo 02.06.2014
Autor: knowhow

Aufgabe
Betrachte das Polynom [mm] f:=T^3+\overline{2}T+1 \in (\IZ/3\IZ)[T] [/mm] und setze [mm] R:=(\IZ/3\IZ)[T]/. [/mm] Berechne das Inverse von [mm] T^4+ [/mm] in R

hallo,

ich habe so angefangen :

  [mm] T^4 =(T^3+\overline{2}T+1)(T)+T^2+2T [/mm]
  [mm] T^3+2T+1=(T^2+2T)(T)+1 [/mm]
  [mm] T^2+2T [/mm]    =1 [mm] \cdot(T^2+2T)+0 [/mm]

damit erhalte mit vielfachsummendarstellung

[mm] 1=(T^3+2T+1)-((T^2+2T)T) [/mm]
  [mm] =(T^3+2T+1)-((T^4-(T^3+2T+1)T)T) [/mm]
  [mm] =(T^3+2T+1)(1+T)-T^4 \cdot [/mm] T
  [mm] =(T^3+2T+1)(1+T)+T^4\cdot(-1)T [/mm]
  [mm] =(T^3+2T+1)(1+T)+T^4 \cdot [/mm] 2T

damit wäre 2T inverse von [mm] T^4 [/mm] (vollständig 2T+<f>), aber wie kann ich nachprüfen ob es wirklich die inverse ist, da wenn ich 2T [mm] \cdot T^4= 2T^5, [/mm] aber muss da nicht irgendwie 1 herauskommen? ist die Inverse eigetnlich richtig. bin für jede hilfe dankbar.

gruß
knowhow

        
Bezug
euklidische Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Di 03.06.2014
Autor: angela.h.b.


> Betrachte das Polynom [mm]f:=T^3+\overline{2}T+1 \in (\IZ/3\IZ)[T][/mm]
> und setze [mm]R:=(\IZ/3\IZ)[T]/.[/mm] Berechne das Inverse von
> [mm]T^4+[/mm] in R
>  hallo,
>  
> ich habe so angefangen :
>  
> [mm]T^4 =(T^3+\overline{2}T+1)(T)+T^2+2T[/mm]
>    
> [mm]T^3+2T+1=(T^2+2T)(T)+1[/mm]


Hallo,

das ist doch

[mm] T^3+2T+1=(T^2+2T)(T)+T^2+2T+1 [/mm] = [mm] (T^2+2T)(T+1)+1. [/mm]

Damit hat man

[mm] 1=(T^3+2T+1)- (T^2+2T)(T+1) [/mm]

[mm] =(T^3+2T+1)- (T^4-(T^3+2T+1)T)(T+1) [/mm]

[mm] =-T^4(T+1)+(T^3+2T+1)(1+T(T+1)) [/mm]

[mm] =T^4(2T+2) [/mm] + [mm] (T^2+T+1)*(T^3+2T+1), [/mm]

und (2T+2) ist das Inverse von [mm] T^4 [/mm]  modulo [mm] (T^3+2T+1). [/mm]






>    [mm]T^2+2T[/mm]    =1 [mm]\cdot(T^2+2T)+0[/mm]
>  
> damit erhalte mit vielfachsummendarstellung
>  
> [mm]1=(T^3+2T+1)-((T^2+2T)T)[/mm]
>    [mm]=(T^3+2T+1)-((T^4-(T^3+2T+1)T)T)[/mm]
>    [mm]=(T^3+2T+1)(1+T)-T^4 \cdot[/mm] T
>    [mm]=(T^3+2T+1)(1+T)+T^4\cdot(-1)T[/mm]
>    [mm]=(T^3+2T+1)(1+T)+T^4 \cdot[/mm] 2T
>  
> damit wäre 2T inverse von [mm]T^4[/mm] (vollständig 2T+<f>), aber
> wie kann ich nachprüfen ob es wirklich die inverse ist, da
> wenn ich 2T [mm]\cdot T^4= 2T^5,[/mm] aber muss da nicht irgendwie 1
> herauskommen?

Meinem Verständnis nach müßte

[mm] T^4*Inverses [/mm] - 1 ein Vielfaches von [mm] T^3+2T+1 [/mm] sein.

LG Angela




>  ist die Inverse eigetnlich richtig. bin für
> jede hilfe dankbar.
>  
> gruß
>  knowhow


Bezug
                
Bezug
euklidische Algorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Di 03.06.2014
Autor: knowhow

hallo, danke für deine antwort,


warum schreibt man
[mm] 1=(T^3+2T+1)-(T^2+2)(T+1) [/mm] anstelle [mm] 1=(T^3+2T+1)-((T^2+2)(T)+1) [/mm] ? ( ich weiß das beim ausmultiplizieren die 1herauskommen soll und aber ich erhalte da keine 1 heraus da konstante term wegfehlt) aber macht es kein unterschied wo ich die klammer hinsetzte, den bei der Berechnung mit euklisisches algorithmus habe

[mm] T^3+2T+1=(T^2+2)(T)+1 [/mm]
schreibe ich dann als lösung für die inverse dann [mm] (T^2+2)+ [/mm] oder ist es falsch und es lautet nut [mm] T^2+2? [/mm]

dankeschön im voraus


Bezug
                        
Bezug
euklidische Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Di 03.06.2014
Autor: angela.h.b.


> hallo, danke für deine antwort,
>  
>
> warum schreibt man
> [mm]1=(T^3+2T+1)-(T^2+2)(T+1)[/mm] anstelle
> [mm]1=(T^3+2T+1)-((T^2+2)(T)+1)[/mm] ?

Hallo,

es ist doch

[mm] (T^3+2T+1)-((T^2+2)(T)+1) [/mm]
[mm] =T^3+2T+1-(T^2+2)(T)-1 [/mm]
[mm] =T^3+2T+1-T^3-2T-1 [/mm]
=0, und nicht =1.

Deshalb lautet die Antwort:
man schreibt das nicht so, weil es falsch ist.

Die richtige Rechnung habe ich ja vorgeführt - jedenfalls hoffe ich, daß ich richtig gerechnet habe.


> ( ich weiß das beim
> ausmultiplizieren die 1herauskommen soll und aber ich
> erhalte da keine 1 heraus da konstante term wegfehlt)

Siehste!

>  aber
> macht es kein unterschied wo ich die klammer hinsetzte, den
> bei der Berechnung mit euklisisches algorithmus habe
>
> [mm]T^3+2T+1=(T^2+2)(T)+1[/mm]

Warum hast Du jetzt [mm] T^2+2 [/mm] im Rennen?
Hat das was mit der Aufgabe zu tun?
Nee, oder? Du berechnest jetzt gerade etwas anderes.


>  schreibe ich dann als lösung für die inverse
> dann
> [mm](T^2+2)+[/mm] oder ist es falsch und es lautet nut [mm]T^2+2?[/mm]

Es ist [mm] (T^2+2)+ [/mm] das Inverse von T+<f>.

Du solltest Dich mit der Schreibweise nach den Gepflogenheiten Deiner Vorlesung richten.

Vielleicht schreibt Ihr auch [mm] [T^2+2], [/mm] oder auch einfach [mm] T^2+2. [/mm]

LG Angela


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