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moin,
Ich wollte mal fragen:
Gibt es einen Weg (allgemeinen) Weg, die Mächtigkeit einer Gruppe aus den Ordnungen ihrer Erzeuger zu ermitteln?
Nehmen wir dafür mal ein kommutatives Beispiel:
Sei $G$ ein kommutative Gruppe $x,y [mm] \in [/mm] G$ und ord(x) = 3, ord(y) = 5.
Sei weiter $H = [mm] \langle [/mm] x,y [mm] \rangle$.
[/mm]
Dann hat, wenn mich nicht alles täuscht, $H$ 15 Elemente (da die Ordnungen von $x$ und $y$ teilerfremd sind).
Wie sieht das aber für nicht kommutative Gruppen aus.
Nehmen wir die fast gleichen Annahmen:
$G$, $x,y$ wie oben, nur $G$ nicht kommutativ, insbesondere kommutieren $x,y$ nicht.
Wie kann man dann die Mächtigkeit von $H$ berechnen oder was für Aussagen lassen sich über diese treffen.
Würde es ggf. helfen, wenn $G$ selbst endlich wäre?
Und dann nochmal für den kommutativen Fall:
$G$ kommutativ, aber jetzt ord(x) = 3, ord(y) = 6.
Reicht hier eine Fallunterscheidung, ob [mm] $x=y^2$ [/mm] oder muss man noch mehr machen?
Und gibt es irgendwelche schönen Formeln für mehr als zwei Erzeuger, die man kennen sollte, oder muss man sich das von Fall zu Fall zurechtbasteln?
vielen Dank schonmal für Antworten.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Fr 16.03.2012 | | Autor: | hippias |
Wenn ich Deine Fragestellung richtig auffasse, dann scheint sie mir im Wesentlichen mit dem eingeschraenkten Burnside'schem Problem (restricted Burnside-Problem) uebereinzustimmen: Wenn $G$ eine endliche Gruppe ist, die von $n$ Elementen mit Exponent $e$ erzeugt wird, gibt es dann eine Abschaetzung fuer $|G|$, die nur von $n$ und $e$ abhaengt?
Darueberhinaus beachte,dass eine Diedergruppe von zwei Elementen der Ordnung $2$ erzeugt wird und als Gruppenordnung alle geraden Zahlen und unendlich moeglich sind.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Fr 16.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn ich Deine Fragestellung richtig auffasse, dann scheint
> sie mir im Wesentlichen mit dem eingeschraenkten
> Burnside'schem Problem (restricted Burnside-Problem)
> uebereinzustimmen: Wenn [mm]G[/mm] eine endliche Gruppe ist, die von
> [mm]n[/mm] Elementen mit Exponent [mm]e[/mm] erzeugt wird, gibt es dann eine
> Abschaetzung fuer [mm]|G|[/mm], die nur von [mm]n[/mm] und [mm]e[/mm] abhaengt?
> Darueberhinaus beachte,dass eine Diedergruppe von zwei
> Elementen der Ordnung [mm]2[/mm] erzeugt wird und als Gruppenordnung
> alle geraden Zahlen und unendlich moeglich sind.
Nimmt man als Gruppe $G$ die freie Gruppe mit zwei Erzeugern $a$ und $b$ modulo des von [mm] $a^2$ [/mm] und [mm] $b^2$ [/mm] erzeugten Normalteilers, bekommt man eine unendliche Gruppe, deren Erzeuger [mm] $\overline{a}$ [/mm] und [mm] $\overline{b}$ [/mm] beide Ordnung 2 haben.
Dagegen hat man bei endlich erzeugten abelschen Gruppen mehr Glueck: sind die Ordnungen der Erzeuger [mm] $e_1, \dots, e_n$, [/mm] dann ist $|G|$ ein Vielfaches von [mm] $kgV(e_1, \dots, e_n)$ [/mm] und ein Teiler von [mm] $e_1 \cdots e_n$ [/mm] (und jeder Wert dazwischen kann auftreten).
LG Felix
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Hmm, es ist also nicht so einfach.
Danke euch beiden.
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