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| Aufgabe | | Zeige, dass M := [mm] \{ \vektor{1 \\ 1\\1\\1}, \vektor{1 \\ 0\\0\\0}, \vektor{0 \\ 1\\1\\0}, \vektor{1 \\ 0\\1\\0}, \vektor{1 \\ 0\\0\\1} \} [/mm] ein Erzeugendensystem von V = [mm] \IQ^{4} [/mm] ist. |
Hallo!
also..ich habe folgendermaßen angefangen: sei v [mm] \in [/mm] V beliebig.
Ist M ein Erezuegendensystem von V, dann lässt sich v als Linearkombination aus M darstellen, also:
[mm] \lambda_{1} \* \vektor{1 \\ 1\\1\\1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} \* \vektor{1 \\ 0\\0\\0} [/mm] + [mm] \lambda_{3} \* \vektor{0 \\ 1\\1\\0} [/mm] + [mm] \lambda_{4} \* \vektor{1 \\ 0\\1\\0} [/mm] + [mm] \lambda_{5} \* \vektor{1 \\ 0\\0\\1} [/mm] = v = [mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2}\\v_{3}\\v_{4}}
[/mm]
Daraus habe ich ein Gleichungssystem "erstellt". Mein Problem ist nun, dass ich im Endeffekt auf folgendes komme:
I: [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] v_{1} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] - [mm] v_{3} [/mm] - [mm] v_{4}
[/mm]
II: [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{5} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] + [mm] v_{4}
[/mm]
III: [mm] \lambda_{4} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] - [mm] v_{2}
[/mm]
IV: [mm] \lambda_{3} [/mm] = [mm] \lambda_{5} [/mm] - [mm] v_{4}
[/mm]
Wie kann ich daraus nun schlussfolgern,dass sich jeder Vektor v [mm] \in [/mm] V als Linearkombination der Vektoren aus M darstellen lässt?
Vielen Dank im Voraus!
LG, kleinsnoopy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Betrachte mal die letzten vier Vektoren in M.
Sind die vielleicht linear unabhängig ??
FRED
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ja, das hätte man natürlich auch gleich sehen könnte :D Danke!
Nun, ich hätte dann auch eine zweite Frage...:
Ich habe noch eine zweite Menge mit zwei Vektoren:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Diese Menge soll ich nun mit Elementen aus M zu einer Basis von V erweitern. Gibt es da einen Trick oder muss ich wirklich alle Kombinationen ausprobieren ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Das kannst Du natürlich machen. Manchmal hilft eifach ein bißchen hinsehen:
Nimm mal
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
FRED
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Hm...aber woran kann man das so einfach "sehen"? In gibt es da so etwas wie einen Trick? oder ist es einfach nur Erfahrung ?
Danke!
LG,
kleinsnoppy
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> Hm...aber woran kann man das so einfach "sehen"? In gibt es
> da so etwas wie einen Trick? oder ist es einfach nur
> Erfahrung ?
> Danke!
> LG,
> kleinsnoppy
Hallo!
Erfahrung + Überlegen!
Ich denke es ist kein Problem, ein Erzeugendensystem mit diesen Vektoren zu basteln - man müsste ja einfach die vier Einheitsvektoren "hinzufügen", und schon hätte mans. Das Problem ist nun hier, dass man nur zwei Vektoren hinzufügen darf und die l.u. sein müssen.
Nun sieht man aber, dass die beiden gegebenen Vektoren im Moment praktisch nur entweder die beiden oberen Koordinaten oder die beiden unteren Koordinaten verändern können. Wenn ich also einen Vektor hinzufüge wie zum Beispiel
[mm] \vektor{1\\0\\0\\0}
[/mm]
der nur die oberste Koordinate verändert, ist es klar dass er l.u. zu den beiden anderen ist. Denn damit lineare Abhängigkeit "eintritt", müsste ich mit den beiden gegebenen den dritten erzeugen können, was hier aber wegen der Umstände ganz sicher nicht geht. (Achtung: Das ist eine etwas vereinfachte Form der Definition von L.A., die nicht mehr ganz richtig ist, hier aber hilft solche Vektoren zu finden). Genau so überlegt man sich das mit dem zweiten Vektor
[mm] \vektor{0\\0\\0\\1}
[/mm]
Stefan.
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