erwartungswert (gleichverteilu < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Do 07.12.2006 | | Autor: | nodo |
| Aufgabe | Ein Stab der Länge 1 werde zufällig gleichverteilt in zwei Teil zerbrochen.
Sei X der Quotient der kürzeren durch die längere Strecke. Was ist dann der Erwartungswert? |
ih weiß nicht, welchen ansatz ich für die aufgabe machen soll?
soll ich zuerst den erwartungswert für den fall, dass X die länge der kürzeren strecke und Y die länge der längeren strecke ist, berechen, und anschließlich insgesamt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Fr 08.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin nodo,
meine Strategie zur Loesung der Aufgabe ist wie folgt:
1) Ich bestimme die Verteilungsfunktion $F$ von $X$
2) Ich bestimme $f=F'$
3) Ich bestimme den Erwartungswert
Sei $U$ gleichverteilt in (0,1). Zunaechst ist klar, dass $X$ nur Werte
im Intervall (0,1) annimmt. Sei $0<x<1$ fest, aber beliebig gewaehlt.
Dann gilt
$F(x)=P(X [mm] \le [/mm] x)=P(X [mm] \le [/mm] x [mm] \cap [/mm] U [mm] \le 1/2)+P(X\le [/mm] x [mm] \cap [/mm] U > 1/2)
[mm] P(X\le [/mm] x | [mm] U\le 1/2)P(U\le 1/2)+P(X\le [/mm] x | U > 1/2)P(U > 1/2)=
[mm] [P(X\le [/mm] x | [mm] U\le 1/2)+P(X\le [/mm] x | U > 1/2)]/2$
Beachte fuer das Folgende, dass $(U | [mm] U\le [/mm] 1/2)$ eine Gleichverteilung
im Intervall (0,1/2) besitzt. Dann ist
[mm] $P(X\le [/mm] x | [mm] U\le 1/2)=P(U/(1-U)\le [/mm] x | U [mm] \le 1/2)=P(U\le [/mm] x/(1+x) | U [mm] \le [/mm] 1/2 )=2x/(1-x)$.
Analog erhaelt man [mm] $P(X\le [/mm] x | U > 1/2)=2x/(1+x)$.
Es folgt $F(x)=2x/(1+x)$ und [mm] $f(x)=2/(1+x)^2$. [/mm] Fuer den Erwartungswert
berechne ich [mm] $\mbox{E}[X]=2\ln(2)-1$.
[/mm]
hth
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