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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - erstes Integral
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erstes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Fr 24.08.2012
Autor: paula_88

Aufgabe
x''=-sin(x)
Die obere DGL 2. Ordnung soll in eine zweidimensionale DGL 1. Ordnung umgeschrieben werden und ein erstes Integral gefunden werde.

Hallo an alle,
ich weiß nicht genau, wie man ein erstes Integral findet und bitte um Hilfe :-)
Ich weiß allerdings, dass eine Funktion h: U [mm] \to \IR [/mm] genau dann ein erstes Integral von F ist, wenn Dh(x)(F(x))=0, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U.
Leider weiß ich nicht wie ich ran zugehen habe und würde es auch gerne verstehen, vielleicht hat ja jemand eine gute Erklärung oder einen Tip?
Ist F''(x)=-sin(x) oder wie steht die Funktion F(x) im Zusammenhang mit der oben gegebenen Ableitung x''=-sin(x)??
Vielen Dank im Voraus :-)

        
Bezug
erstes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Fr 24.08.2012
Autor: teo

Hallo,

zunächst einmal schreibst du das System um in ein zweidimensionales System 1. Ordnung. So wie ichs bei deinem letzten post gemacht habe (leider hat dir ja keiner mehr geanwortet).

Dann kannst du das umformulieren in die Form (*):

[mm] x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11}) [/mm]
[mm] x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11}) [/mm]

Für ein erstes Integral [mm] E:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] gilt dann [mm] \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{10}}*f_1(x_{10},x_{11}) + \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{11}}*f_2(x_{10},x_{11}) = 0 [/mm]

Du musst also E so bestimmen, dass die obige Bedingung erfüllt ist.

Grüße

Bezug
                
Bezug
erstes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Fr 24.08.2012
Autor: paula_88

Hallo teo,
vielen Dank für die schnelle Antwort, ein paar Fragen habe ich allerdings noch ;-)

> zunächst einmal schreibst du das System um in ein
> zweidimensionales System 1. Ordnung. So wie ichs bei deinem
> letzten post gemacht habe (leider hat dir ja keiner mehr
> geanwortet).
>  
> Dann kannst du das umformulieren in die Form (*):
>  
> [mm]x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})[/mm]
>  [mm]x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})[/mm]

Wenn ich das mal bezüglich meiner Aufgabenstellung umformuliere:
[mm] x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})=x' [/mm]
[mm] x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})=x''=-sin(x) [/mm]

>  
> Für ein erstes Integral [mm]E:\IR^2 \to \IR^2[/mm] gilt dann
> [mm]\frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{10}}*f_1(x_{10},x_{11}) + \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{11}}*f_2(x_{10},x_{11}) = 0[/mm]

Frage: Wie genau schlussfolgerst du diese Gleichung? Das sehe ich leider noch nicht genau :-S

Wende ich diese an, komme ich auf Folgendes:
[mm] \Rightarrow \bruch{dh}{dx}x'-sin(x)\bruch{dh}{dx'}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dh}{dx}x'=sin(x)\bruch{dh}{dx'} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{dx}x'=sin(x)\bruch{1}{dx'} [/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{x' dx'} [/mm] = [mm] \integral{sin(x) dx} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{(x')^{2}}{2}=cos(x) [/mm]

Wenn ich jetzt weiter umstellen würde, würde ich die DGL lösen, ich möchte ja aber nur ein erstes Integral, wie muss ich also weiter vorgehen?

Vielen Dank für die Geduld, Paula

Bezug
                        
Bezug
erstes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Fr 24.08.2012
Autor: teo


> Hallo teo,
>  vielen Dank für die schnelle Antwort, ein paar Fragen
> habe ich allerdings noch ;-)
>  
> > zunächst einmal schreibst du das System um in ein
> > zweidimensionales System 1. Ordnung. So wie ichs bei deinem
> > letzten post gemacht habe (leider hat dir ja keiner mehr
> > geanwortet).
>  >  
> > Dann kannst du das umformulieren in die Form (*):
>  >  
> > [mm]x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})[/mm]
>  >  
> [mm]x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})[/mm]
>  
> Wenn ich das mal bezüglich meiner Aufgabenstellung
> umformuliere:
> [mm]x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})=x'[/mm]
>  
> [mm]x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})=x''=-sin(x)[/mm]
>  >  
> > Für ein erstes Integral [mm]E:\IR^2 \to \IR^2[/mm] gilt dann
> > [mm]\frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{10}}*f_1(x_{10},x_{11}) + \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{11}}*f_2(x_{10},x_{11}) = 0[/mm]
>  
> Frage: Wie genau schlussfolgerst du diese Gleichung? Das
> sehe ich leider noch nicht genau :-S
>  
> Wende ich diese an, komme ich auf Folgendes:
>  [mm]\Rightarrow \bruch{dh}{dx}x'-sin(x)\bruch{dh}{dx'}=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \bruch{dh}{dx}x'=sin(x)\bruch{dh}{dx'}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{dx}x'=sin(x)\bruch{1}{dx'}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \integral{x' dx'}[/mm] = [mm]\integral{sin(x) dx}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \bruch{(x')^{2}}{2}=cos(x)[/mm]

Das ist viel zu umständlich!!

Du kannst das doch aus dieser Gleichung direkt ablesen:


[mm]\frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{10}}*f_1(x_{10},x_{11}) + \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{11}}*f_2(x_{10},x_{11}) = 0[/mm]

Du hast links schon [mm] x_{11} [/mm] stehen und rechts (vom +) [mm] -sin(x_{10}) [/mm] also sieht man doch recht schnell, dass E nach [mm] x_{10} [/mm] abgeleitet sin(x_10) und E nach [mm] x_{11} [/mm] abgeleitet [mm] x_{11} [/mm] sein muss.

Folglich bekommst du sofort [mm] E(x_{10},x_{11}) [/mm] = [mm] cos(x_{10})-\frac{1}{2}x_{11}^2. [/mm]

So nun hast du das erste Integral gefunden. Jetzt musst du noch beweisen, dass es wirklich eins ist.

Hierzu ist erst mal zu zeigen, dass E nicht konstant ist (offensichtlich). und nun, dass für die die Lösungen [mm] x_{10}(t),x_{11}(t) [/mm] des DGL-Systems die Funktion E längs der Lösungskurven kostant ist. Das zeigst du indem du

[mm] \frac{dE(x_{10},x_{x_11})}{dt} [/mm] = 0 zeigst. Mach das mal, dann siehst du wie man auf obigen Ansatz kommt.

Grüße


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