errorf komplexes argument < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Do 18.07.2019 | | Autor: | lenz |
Hallo
Es soll die Wignerfunktion W(x,p)
[mm] W(x,p)=\frac 1{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\,e^{-\frac i \hbar py} \psi(x+\frac [/mm] y [mm] 2)^{\*}\psi(x- \frac [/mm] y 2)
des Grundzustandes des harmonischen Oszillators [mm] \psi_0
[/mm]
[mm] \psi_0=\frac 1{\sqrt[4]{\pi}\sqrt a} e^{-\frac {x^2}{2a^2}}
[/mm]
ausgerechnet werden. Ich hab als Stammfunktion zu
[mm] \int e^{-\alpha x^2+\beta x+c}=\frac{\sqrt \pi}{2\sqrt a}e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}+c} erf(\sqrt{\alpha}x -\frac \beta{2\sqrt \alpha})
[/mm]
gefunden. Wenn ich den Grundzustand in der Wignerfunktion einsetze
bekomme ich [mm] \alpha=\frac 1{4a^2}, \beta=\frac{-ip}{\hbar} [/mm] und [mm] c=-\frac{x^2}{a^2}.
[/mm]
Wenn ich das einsetze kommt auch das richtige Ergebnis raus, vorausgesetzt [mm] erf(\infty)=1 [/mm] und [mm] erf(-\infty)=-1. [/mm] Ich hatte in einem Forum gelesen, dass das erste zutrifft, den Reihen, die auf Wikipedia angegeben sind, zufolge, könnte es hinkommen, und das zweite würde dann ja aus -erf(x)=erf(-x) folgen. Ich weiß nur nicht, ob das auch für komplexe Argumente gilt, das [mm] \beta [/mm] ist ja komplex. Kann mir jemand was dazu sagen?
Gruß Lennart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Sa 20.07.2019 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lennart,
zur Umsetzung der Wignerfunktion kann ich nichts sagen, da kenne ich mich nicht mit aus. Was das Integral jedoch anbelangt, so integrierst Du doch über eine reelle Variable und wenn Du den Grenzwert gegen plus/minus Unendlich laufen lässt, ergeben sich für die Error-Funktion dieselben Grenzwerte wie bei einem reellen Argument, auch wenn die Error-Funktion komplex ist. Das muss nicht so sein, ist aber der Fall, wenn der Bertrag des Imaginärteil des Arguments weitaus kleiner ist als der des Realteils.
Schaue hier mal rein auf Seite 3: ![[]](/images/popup.gif) hier
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 So 21.07.2019 | | Autor: | lenz |
Hallo
Alles klar, vielen Dank.
Gruß Lennart
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