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Bemerkung: Ein endlich erzeugter $K$-Vektorraum ist epimorphes Bild von [mm] $K^n$, [/mm] wo $n$ die Anzahl der Erzeuger ist.
Was bitte soll ich mir unter diesem Satz vorstellen?
Nehmen wir mal den [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] und die Vektoren
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 3 \\ 4 }, v_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 2 }, v_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }$
[/mm]
Offensichtlich ist das Erzeugnis [mm] $<{v_1,v_2,v_3}> [/mm] = [mm] \mathbb{R}^3$ [/mm] (denn Gauss algorithmus zeugt [mm] v_i [/mm] linear unabhängig). Aber was hat es mit dem Epimorphen Bild auf sich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 14.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Ein Epimorphismus ist (in der Kategorie der Vektorräume und linearen Abbildungen) eine surjektive lineare Abbildung. Ich verstehe die Aussage so: Ist [mm] $(e_i)_{1\le i\le n}$ [/mm] ein System von Erzeugern von [mm]V[/mm], dann ist die folgende lineare Abbildung surjektiv: [mm] $$\varphi:\IK^n\ni(x_1,...,x_n)\mapsto\sum_{i=1}^nx_ie_i\in [/mm] V.$$ Das heißt [mm] $V=\varphi(\IK^n)$ [/mm] ist das Bild eines Epimorphismus. Preisfrage: Mit welcher Eigenschaft von [mm] $\varphi$ [/mm] korrespondiert die lineare Unabhängigkeit von [mm](e_i)[/mm]?
Gruß, Robert
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