endlicher Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Di 03.08.2010 | | Autor: | hula |
Morgen allerseits,
In Algebra behandelten wir endliche Körper. Nun habe ich dazu einige Fragen.
Wenn ich einen endlichen Körper [mm] \IF_{p^n} [/mm] habe, dann weiss ich das es bis auf Isomorphie genau einen solchen Körper gibt, der ein Zerfällungskörper des Polynoms [mm] X^{p^n}-X \in \IF_{p}[/mm] ist. Ich interessiere mich für die Darstellung des Körpers [mm] \IF_{p^n} [/mm] mittels [mm] \IF_{p} [/mm]. Das Polynom [mm] X^{p^n}-X \in \IF_{p}[/mm] lässt sich sicher aufspalten in [mm] f \cdot g \in \IF_{p}[/mm] wobei $\ g $ ein irreduzibles Polynom über [mm] \IF_{p}[/mm] ist. Die Elemente von [mm] \IF_{p}[/mm] sind die Nullstellen von $\ f $. Nun muss ich ja durch Adjunktion von Nullstellen den Körper [mm] \IF_{p^n}[/mm] konstruieren. Jetzt zu meiner Frage: Wieviele Nullstellen muss ich hinzufügen um bereits den Körper [mm]\IF_{p^n}[/mm] zu erhalten. Ich vermute, dass eine reicht, kann dies aber nicht beweisen. Daher wäre ich froh, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Di 03.08.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
Ich mache mal einen Anfang.
> Wenn ich einen endlichen Körper [mm]\IF_{p^n}[/mm] habe, dann weiss
> ich das es bis auf Isomorphie genau einen solchen Körper
> gibt, der ein Zerfällungskörper des Polynoms [mm]X^{p^n}-X \in \IF_{p}[/mm]
> ist. Ich interessiere mich für die Darstellung des
> Körpers [mm]\IF_{p^n}[/mm] mittels [mm]\IF_{p} [/mm]. Das Polynom [mm]X^{p^n}-X \in \IF_{p}[/mm]
> lässt sich sicher aufspalten in [mm]f \cdot g \in \IF_{p}[/mm]
> wobei [mm]\ g[/mm] ein irreduzibles Polynom über [mm]\IF_{p}[/mm] ist. Die
> Elemente von [mm]\IF_{p}[/mm] sind die Nullstellen von [mm]\ f [/mm].
Das ist so nicht ganz richtig. Wie f aussieht, ist klar: [mm] X^p [/mm] - X. Aber g ist nicht unbedingt irreduzibel. Wenn n keine Primzahl ist, gibt es nämlich noch Zwischenkörper von kleinerem Grad.
> Nun
> muss ich ja durch Adjunktion von Nullstellen den Körper
> [mm]\IF_{p^n}[/mm] konstruieren. Jetzt zu meiner Frage: Wieviele
> Nullstellen muss ich hinzufügen um bereits den Körper
> [mm]\IF_{p^n}[/mm] zu erhalten. Ich vermute, dass eine reicht, kann
> dies aber nicht beweisen. Daher wäre ich froh, wenn mir
> jemand einen Tipp geben könnte.
Ja, eine reicht, du mußt nur eine von den richtigen Nullstellen nehmen. Mach doch zum Üben ein konkretes Beispiel: n=6 und p=5 oder so.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 03.08.2010 | | Autor: | hula |
Leider komme ich mit deiner Antwort nicht so richtig weiter:
> Hallo!
> Ich mache mal einen Anfang.
>
> > Wenn ich einen endlichen Körper [mm]\IF_{p^n}[/mm] habe, dann weiss
> > ich das es bis auf Isomorphie genau einen solchen Körper
> > gibt, der ein Zerfällungskörper des Polynoms [mm]X^{p^n}-X \in \IF_{p}[/mm]
> > ist. Ich interessiere mich für die Darstellung des
> > Körpers [mm]\IF_{p^n}[/mm] mittels [mm]\IF_{p} [/mm]. Das Polynom [mm]X^{p^n}-X \in \IF_{p}[/mm]
> > lässt sich sicher aufspalten in [mm]f \cdot g \in \IF_{p}[/mm]
> > wobei [mm]\ g[/mm] ein irreduzibles Polynom über [mm]\IF_{p}[/mm] ist. Die
> > Elemente von [mm]\IF_{p}[/mm] sind die Nullstellen von [mm]\ f [/mm].
>
> Das ist so nicht ganz richtig. Wie f aussieht, ist klar:
> [mm]X^p[/mm] - X. Aber g ist nicht unbedingt irreduzibel. Wenn n
> keine Primzahl ist, gibt es nämlich noch Zwischenkörper
> von kleinerem Grad.
Ok, gebe ich dir Recht. Es kann durchaus sein, dass $\ g $ sich weiter vereinfachen lässt.
> > Nun
> > muss ich ja durch Adjunktion von Nullstellen den Körper
> > [mm]\IF_{p^n}[/mm] konstruieren. Jetzt zu meiner Frage: Wieviele
> > Nullstellen muss ich hinzufügen um bereits den Körper
> > [mm]\IF_{p^n}[/mm] zu erhalten. Ich vermute, dass eine reicht, kann
> > dies aber nicht beweisen. Daher wäre ich froh, wenn mir
> > jemand einen Tipp geben könnte.
>
> Ja, eine reicht, du mußt nur eine von den richtigen
> Nullstellen nehmen. Mach doch zum Üben ein konkretes
> Beispiel: n=6 und p=5 oder so.
>
Hm...was sind denn richtige Nullstellen? Resp. mich interessiert ja mehr wieso das überhaupt geht! Wieso ist es mir immer möglich den gesuchten Körper [mm] \IF_{p^n} [/mm] durch (offenbar geschickte) Wahl einer Nullstelle $\ x $ so darzustellen: [mm] \IF_{p^n} = \IF_{p}[x] [/mm] (ich meine hier den Körper [mm] \IF_{p}[x] \cong \IF_{p}(x) [/mm].
Ich verstehe wohl die Struktur dahinter nicht. Also wieso das überhaupt geht und welche die geeigneten Nullstellen sind (wie erkennt man diese).
>Mach doch zum Üben ein konkretes
> Beispiel: n=6 und p=5 oder so.
dann wäre das Polynom [mm] X^{5^6}-X \in \IF_{5}[X][/mm]. Ich finde sicher 5 Nullstellen, die Elemente von [mm] \IF_{5} [/mm]. Wie soll das nun weitergehen? Ich krieg dann ein riesiges Polynom von welchem ich (geschickt) eine Nullstelle $\ x $ finden muss, so dass [mm] \IF_{15625}= \IF_{5}[x] [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Di 03.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo!
warum eine Nullstelle immer ausreicht hat zwei Antworten:
1) Es handelt sich um eine (endliche) separable Körpererweiterung, dann sagt uns Gallois-Theorie, dass diese immer von einem Element erzeugt werden. (Allerdings kommt das wahrscheinlich erst nächstes Jahr dran.)
2)In diesem konkreten Fall wissen wir mehr: [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] hat [mm] $p^n$ [/mm] verschiedene Nullstellen nämlich genau die Elemente von [mm] ${\mathbb F}_{p^n}$. [/mm] Nun können wir diese Eigenschaft aber noch einmal anwenden: Wir wissen, dass die Zwischenkörper genau [mm] ${\mathbb F}_{p^m}$ [/mm] mit $m|n$ sind. Die Elemente dieser Körper erfüllen [mm] $X^{p^m}-X$. [/mm] D.h. wir müssen ein Element finden, dass [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] erfüllt aber nicht [mm] $X^{p^m}-X$ [/mm] für alle echten Teiler m von n. (Der davon erzeugte Körper ist ein Zwischenkörper, aber in keinem der [mm] ${\mathbb F}_{p^m}$ [/mm] enthalten, also die ganze Erweiterung.) Nun kann man sich überlegen, dass wir für jedes n genug Nullstellen haben, so dass immer noch eine (in Wirklichkeit die meisten) übrig bleibt wenn wir die von den Teilern ausschließen.
Gruß
Peter
|
|
|
|
