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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei (G,+) eine endliche abelsche Gruppe. Sei [mm] 2G:=\{2g=g+g|g\in G\}.
[/mm]
Zeigen Sie: Ist G endlich und ist |G| ungerade, so ist 2G=G. |
Hallo,
was klar ist, dass 2G eine Untergruppe von G ist.
Aber irgendwie habe ich Schwierigkeiten mir dann vorzustellen, dass überhaupt 2G=G gilt.
Demnach müssten die Kardinalitäten ja gleich sein. Das ist auch klar, wenn G x Elemente hat, dann kann ich immer jedes mit sich selbst addieren und erhalte 2G.
Aber wie kommt man zu dem formalen Beweis bzw. zum Ansatz des Beweises? Wirklich komliziert kann das ja eigentlich nicht sein...
Gruß Unk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mo 23.11.2009 | | Autor: | andreas |
hi
zeige, dass die abbildung [mm] $\varphi: [/mm] G [mm] \longrightarrow [/mm] G; g [mm] \longmapsto [/mm] 2g = g + g$ ein gruppenhomomorphismus ist (dabei wird verwendet, dass $G$ abelsch ist). nach dem homorphiesatz gilt nun, dass [mm] $G/\ker \varphi \cong \varphi(G)$. [/mm] es genügt nun also zu zeigen, dass [mm] $\ker \varphi [/mm] = 0$. überlege dir nun, was es für ein element $g [mm] \in [/mm] G$ heißt, dass $g [mm] \in \ker \varphi$. [/mm] kann dies für ein element außer $0$ erfüllt sein (bedenke, dass die gruppenordnung ungerade ist und dass es den satz von lagrange gibt)?
grüße
andreas
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