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emp. Verteilungsfunktion: Konvergenz in Verteilung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:59 So 29.01.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Ich verstehe nicht, wieso für die empirische Verteilungsfunktion [mm] $\hat{F}$ [/mm] gilt, daß

[mm] $\frac{\sqrt{n}(\hat{F}^{(n)}-F(a))}{\sqrt{F(a)(1-F(a))}}\to \mathcal{N}(0,1)$ [/mm]

Mir ist schon klar, daß man hier den zentralen Grenzwertsatz benutzt.

Dieser lautet doch

[mm] $\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}\to\mathcal{N}(0,1)$ [/mm]

Wenn ich jetzt hier das [mm] $\hat{F}^{(n)}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\chi_{(-\infty,x]}(X_i)$ [/mm] als das arithmetische Mittel der [mm] $\chi_{(-\infty,x]}(X_i)$ [/mm] betrachte und bedenke, daß die Varianz der emp. Verteilungsfunktion ist

[mm] $\frac{F(x)(1-F(x))}{n}$ [/mm] und der Erwartungswert $F(x)$, so komme ich aber darauf, daß

[mm] $\frac{n(\hat{F}^{(n)}(x)-F(x))}{\sqrt{F(x)(1-F(x))}}\to\mathcal{N}(0,1)$ [/mm]

Ich verstehe daher nicht, wieso da die Wurzel aus n im Zähler steht!

        
Bezug
emp. Verteilungsfunktion: Denkfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 So 29.01.2012
Autor: dennis2

Ach, ich glaube, ich kann es mir selbst beantworten!

Ich muß ja den Erwartungswert bzw. die Standardabweichung der [mm] $\chi_{(-\infty,x]}(X_i)$ [/mm] nehmen und nicht die von dem arithmetischen Mittel!

Also ist natürlich [mm] $\mu=F(x)$ [/mm] und [mm] $\sigma=\sqrt{F(x)(1-F(x)}$, [/mm] da die einzelnen [mm] $\chi_{(-\infty,x]}(X_i)$ [/mm] ja bernouilli-verteilt sind.

Bezug
        
Bezug
emp. Verteilungsfunktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 31.01.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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