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Forum "Differentialgleichungen" - einfache PDE zu lösen
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einfache PDE zu lösen: Mit Randwerten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Di 23.10.2012
Autor: pablovschby

Aufgabe
Bestimme die Lösungen f auf $ [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] [mm] \times [/mm] [0,T]$
[mm] $f_{tt} [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u = 0 $ mit Randwerten
$f(x,t)=0 $ wenn $ (x,t) [mm] \in [/mm] Rand([0,1] [mm] \times [/mm] [0,1]) [mm] \times [/mm] [0,T]$

Versuche es mit Separation.


[mm] f_{tt} [/mm] ist die Funktion f(x,t) zweimal nach t abgeleitet
[mm] \Delta [/mm] u = [mm] f_{x_1} [/mm] + [mm] f_{x_2} [/mm]  Der LaPlace Operator bezieht sich nur auf die x-Variablen wie ich las.

Mit Separation ist gemeint, man solle f(x,t) aufsplitten, also f(x,t)=h(x)*g(t)


Im Internet ist erklärt, man könne für den eindimensionalen Fall durch Transformation$ [mm] \chi=x-t [/mm]   $   [mm] $\nu=x+t [/mm] $ diese Diff.gl. auf  [mm] f_{\chi\nu}=0 [/mm] zurückführen. Den Weg dorthin habe ich verstanden. Nur nicht, was ich dann mit h und g mache? Und da hier der zweidimensionale Fall betrachtet wird, ...?


Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, was ich hier machen muss?


        
Bezug
einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Di 23.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,

> Bestimme die Lösungen f auf [mm][0,1] \times [0,1] \times [0,T][/mm]
>  
> [mm]f_{tt} - \Delta u = 0[/mm] mit Randwerten
>  [mm]f(x,t)=0[/mm] wenn [mm](x,t) \in Rand([0,1] \times [0,1]) \times [0,T][/mm]
>  
> Versuche es mit Separation.
>  
> [mm]f_{tt}[/mm] ist die Funktion f(x,t) zweimal nach t abgeleitet
>  [mm]\Delta[/mm] u = [mm]f_{x_1}[/mm] + [mm]f_{x_2}[/mm]  Der LaPlace Operator bezieht


Der Laplace-Operator lautet doch so:

[mm]\Delta u = f_{x_1 \red{x_{1}}} + f_{x_2 \red{x_{2}}}[/mm]


> sich nur auf die x-Variablen wie ich las.
>  
> Mit Separation ist gemeint, man solle f(x,t) aufsplitten,
> also f(x,t)=h(x)*g(t)
>  
>
> Im Internet ist erklärt, man könne für den
> eindimensionalen Fall durch Transformation[mm] \chi=x-t [/mm]  
> [mm]\nu=x+t[/mm] diese Diff.gl. auf  [mm]f_{\chi\nu}=0[/mm] zurückführen.


Die Lösung dieser partiellen DGL lautet dann:

[mm]f\left(\chi,\nu\right)=v\left(\chi\right)+w\left(\nu\right)[/mm]

bzw.

[mm]f\left(x,t\right)=v\left(x-t\right)+w\left(x+t\right)[/mm]


> Den Weg dorthin habe ich verstanden. Nur nicht, was ich
> dann mit h und g mache? Und da hier der zweidimensionale
> Fall betrachtet wird, ...?
>  
>
> Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, was ich hier machen
> muss?
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
einfache PDE zu lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Di 23.10.2012
Autor: pablovschby

Leider habe ich das Beispiel im Internet also doch nicht ganz verstanden.

Mit f(x,t)=v(x-t)+w(x+t) würde ich so ableiten:
[mm] f_t= w_t-v_t [/mm]
[mm] f_{tt}=v_{tt}+w_{tt} [/mm]
Bei diesen ersten 2 Termen bin ich mir sehr sicher. Aber da kommt bei [mm] f_{tt} [/mm] hinten noch was ran, richtig? Nur wie berechne ich das?

Das Gleiche in grün:
[mm] f_x=v_x+w_x [/mm]
[mm] f_{xx}=v_{xx}+w_{xx} [/mm]

Bis hierhin ganz simpel. Äussere Ableitung mal innere. Aber was kommt bei den Ableitungen 2.Ordnung hinten noch ran und wie berechne ich das?

Grüsse

Bezug
                        
Bezug
einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Di 23.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,

> Leider habe ich das Beispiel im Internet also doch nicht
> ganz verstanden.
>  
> Mit f(x,t)=v(x-t)+w(x+t) würde ich so ableiten:
>  [mm]f_t= w_t-v_t[/mm]
>  [mm]f_{tt}=v_{tt}+w_{tt}[/mm]
>  Bei diesen ersten 2 Termen bin ich mir sehr sicher. Aber
> da kommt bei [mm]f_{tt}[/mm] hinten noch was ran, richtig? Nur wie
> berechne ich das?
>  


Beim Ableiten ist dies hier heranzuziehen:

[mm]f\left(x,t\right)=v\left( \ \alpha\left(x,t\right) \ \right)+w\left( \ \beta\left(x,t\right) \ \right)[/mm]

mit

[mm]\alpha\left(x,t\right)=x-t[/mm]
[mm]\beta\left(x,t\right)=x+t[/mm]

Dann ist das Ganze gemäß der Kettenregel zu differenzieren.


> Das Gleiche in grün:
>  [mm]f_x=v_x+w_x[/mm]
>  [mm]f_{xx}=v_{xx}+w_{xx}[/mm]
>  
> Bis hierhin ganz simpel. Äussere Ableitung mal innere.
> Aber was kommt bei den Ableitungen 2.Ordnung hinten noch
> ran und wie berechne ich das?
>  
> Grüsse


Gruss
MathePower

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einfache PDE zu lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Di 23.10.2012
Autor: pablovschby

edit:

Dann ist

[mm] f_{tt}=-2v_{tt}(x-t)+2w_{tt}(x+t) [/mm] und
[mm] f_{xx}=2v_{xx}(x-t)+2w_{xx}(x+t) [/mm]

[mm] f_{tt}(x,t)- \Delta f=-2v_{tt}(x-t)+2w_{tt}(x+t)-2v_{xx}(x-t)-2w_{xx}(x+t)=0 [/mm]

Und nun?

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einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Di 23.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,

> edit:
>  
> Dann ist
>  
> [mm]f_{tt}=-2v_{tt}(x-t)+2w_{tt}(x+t)[/mm] und
>  [mm]f_{xx}=2v_{xx}(x-t)+2w_{xx}(x+t)[/mm]
>  
> [mm]f_{tt}(x,t)- \Delta f=-2v_{tt}(x-t)+2w_{tt}(x+t)-2v_{xx}(x-t)-2w_{xx}(x+t)=0[/mm]
>  


Das sollte auch herauskommen.


> Und nun?


Damit hast Du verifiziert, daß f(x,t)=v(x-t)+w(x+t) die PDE löst.


Gruss
MathePower

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Bezug
einfache PDE zu lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Di 23.10.2012
Autor: pablovschby

Hi

Ja ok aber die Frage ist nach den Lösungen. Ich muss doch konkrete Lösungen angeben? Das ist doch nicht das, was in der Aufgabe gesucht wurde?


Bezug
                                                        
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einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Di 23.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,

> Hi
>  
> Ja ok aber die Frage ist nach den Lösungen. Ich muss doch
> konkrete Lösungen angeben? Das ist doch nicht das, was in
> der Aufgabe gesucht wurde?
>  


Die allgemeine Lösung der gegebenen PDE
wurde für den  Fall von zwei abhängigen Variablen angegeben.

In der Aufgabe handelt es sich aber um drei abhängige Variablen.


Gruss
MathePower



Bezug
                                                                
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einfache PDE zu lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Di 23.10.2012
Autor: pablovschby

Was muss ich tun, um die Aufgabe zu lösen?

Bezug
                                                                        
Bezug
einfache PDE zu lösen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:56 Mi 24.10.2012
Autor: pablovschby

Hi

Also ich habe das ganze Internet durchsucht und auch einige Numerik-Bücher, aber das scheint wirklich nirgends zu stehen.

Weiss von euch niemand, wie man das löst im angegebenen Fall mit

[mm] \IR^2 \times \IR [/mm]  ?

Gibt es da keine ähnliche Formel?


Bezug
                                                                                
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einfache PDE zu lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 26.10.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                        
Bezug
einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Mi 24.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,

> Was muss ich tun, um die Aufgabe zu lösen?


Verwende den Separationsansatz für 3 unabhängige Variablen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
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einfache PDE zu lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Do 25.10.2012
Autor: pablovschby

Danke :)

Also der Name "Wellengleichung" bringt mich auf sinus und cosinus

Mit [mm] f(x_1,x_2,t)=u(x_1)v(x_2)w(t) [/mm] kriege ich mit den Randbedingungen für eine nicht-triviale Lösung heraus, dass u und v etwas mit sinus sein müssen. Also mit Zahlen a,b [mm] \in \mathbb{R} [/mm] , k,m [mm] \in \IZ [/mm] kriege ich

[mm] u(x_1)=a*sin(\pi*k*x_1) [/mm] und
[mm] v(x_2)=-b*sin(\pi*m*x_2) [/mm]

[mm] f_{tt}=u(x_1)v(x_2)w''(t) [/mm]
[mm] f_{x_1 x_1}=u''(x_1)v(x_2)w(t) [/mm]
[mm] f_{x_2 x_2}=u(x_1)v''(x_2)w(t) [/mm]

[mm] u''=-a*\pi^2*k^2*sin(\pi*k*x_1) [/mm]
[mm] v''=b*pi^2*m^2*sin(\pi*m*x_2) [/mm]

Wenn ich dann wie oben einsetze:

[mm] f_{tt}=f_{x_1 x_1}+f_{x_2 x_2} [/mm] dann kriege ich
[mm] w(t)=\frac{-w''(t)}{\pi^2*k^2+\pi^2*m^2} [/mm]
Wenn jetzt rechts nur die erste Ableitung stehen würde, wüsste ich w(t) mit der Exponentialfunktion zu beschreiben

Wie kann ich es aber hier bewerkstelligen?
Ist der Rest oben in Ordnung?

Bezug
                                                                                        
Bezug
einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Do 25.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,


> Danke :)
>  
> Also der Name "Wellengleichung" bringt mich auf sinus und
> cosinus
>  
> Mit [mm]f(x_1,x_2,t)=u(x_1)v(x_2)w(t)[/mm] kriege ich mit den
> Randbedingungen für eine nicht-triviale Lösung heraus,
> dass u und v etwas mit sinus sein müssen. Also mit Zahlen
> a,b [mm]\in \mathbb{R}[/mm] , k,m [mm]\in \IZ[/mm] kriege ich
>  
> [mm]u(x_1)=a*sin(\pi*k*x_1)[/mm] und
>  [mm]v(x_2)=-b*sin(\pi*m*x_2)[/mm]
>  
> [mm]f_{tt}=u(x_1)v(x_2)w''(t)[/mm]
>  [mm]f_{x_1 x_1}=u''(x_1)v(x_2)w(t)[/mm]
>  [mm]f_{x_2 x_2}=u(x_1)v''(x_2)w(t)[/mm]
>  
> [mm]u''=-a*\pi^2*k^2*sin(\pi*k*x_1)[/mm]
>  [mm]v''=b*pi^2*m^2*sin(\pi*m*x_2)[/mm]
>  
> Wenn ich dann wie oben einsetze:
>  
> [mm]f_{tt}=f_{x_1 x_1}+f_{x_2 x_2}[/mm] dann kriege ich
>  [mm]w(t)=\frac{-w''(t)}{\pi^2*k^2+\pi^2*m^2}[/mm]
>  Wenn jetzt rechts nur die erste Ableitung stehen würde,
> wüsste ich w(t) mit der Exponentialfunktion zu
> beschreiben
>  
> Wie kann ich es aber hier bewerkstelligen?


Setze an mit  [mm]w\left(t\right)=e^{\lambda*t}[/mm]
Einsetzen in die DGL für w(t) liefert die Lösungen [mm]\lambda_{1}, \ \lambda_{2}[/mm],
die natürlich von k und m abhängen.


>  Ist der Rest oben in Ordnung?


Mit dem Separationsansatz bekommst Du zunächst
3 voneinander unabhängige DGLn, deren Lösung
abhängig von den gewählten Konstanten ist.

Anhand der Anfangsbedingungen kannst Du nun
die Lösungen spezifieren.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
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einfache PDE zu lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Do 25.10.2012
Autor: pablovschby

Ich kriege als Lösung

[mm] f(x_1,x_2,t)=c*sin(\pi*k*x_1)*sin*(\pi*m*x_2)*e^{s*\pi*i*\sqrt{k^2+m^2}*t} [/mm]

wobei
k,m [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] , c [mm] \in \mathbb{R} [/mm] , s [mm] \in \{1,-1\} [/mm]

Eingesetzt erfüllt diese Funktion die Bedingungen oben. Sind das alle Lösungen?

Habe ichs jetzt so richtig verstanden, wie ichs gemacht habe?

Bezug
                                                                                                        
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einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Do 25.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,

> Ich kriege als Lösung
>  
> [mm]f(x_1,x_2,t)=c*sin(\pi*k*x_1)*sin*(\pi*m*x_2)*e^{s*\pi*i*\sqrt{k^2+m^2}*t}[/mm]
>


Korrekt lautet das doch:

[mm]f(x_1,x_2,t)=c*sin(\pi*k*x_1)*sin*(\pi*m*x_2)*\left(k_{1}*\sin\left(\pi\sqrt{k^2+m^2}*t}\right)+k_{2}*\cos\left(\pi\sqrt{k^2+m^2}*t}\right)\right)[/mm]


> wobei
>  k,m [mm]\in \mathbb{Z}[/mm] , c [mm]\in \mathbb{R}[/mm] , s [mm]\in \{1,-1\}[/mm]
>  
> Eingesetzt erfüllt diese Funktion die Bedingungen oben.
> Sind das alle Lösungen?
>  
> Habe ichs jetzt so richtig verstanden, wie ichs gemacht
> habe?



Gruss
MathePower

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einfache PDE zu lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Do 25.10.2012
Autor: pablovschby

Hi

Was ist bei dir [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm]

Und müsste es nicht beim Sinus rechts noch ein i stehen haben wg. der Eulerschen Darstellung?



Bezug
                                                                                                                        
Bezug
einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Do 25.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,

> Hi
>
> Was ist bei dir [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm]
>  


Das sind Konstanten aus den reellen Zahlen.


> Und müsste es nicht beim Sinus rechts noch ein i stehen
> haben wg. der Eulerschen Darstellung?
>  


Nein, da Du reelle Lösungen haben willst.

Wenn eine homogene DGL, wie im vorliegenden Fall,
komplexe Lösungen besitzt, so erfüllen auch
Real- und Imaginärteil der Lösung diese DGL.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
einfache PDE zu lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Do 25.10.2012
Autor: pablovschby

Was ist mit dem s passiert? Wo ist diese pos. bzw. negative Lösung bei deiner miteingebaut?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
einfache PDE zu lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Do 25.10.2012
Autor: MathePower

Hallo pablovschby,

> Was ist mit dem s passiert? Wo ist diese pos. bzw. negative
> Lösung bei deiner miteingebaut?


Für die interessierten reellen Lösungen der DGL

[mm]w''+w=0[/mm]

ist es nicht relevant, welche komplexe Lösung herangezogen wird


Gruss
MathePower

Bezug
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