einfache Differenzialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Sa 09.06.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | 1. c) Besteimmen Sie die allgemeine Lösung von:
[mm] y'=\bruch{1-t^{2}}{t*y}
[/mm]
Wobei zu sagen ist, dass in der Aufgabe statt dem Ableitungszeichen ' ein kleiner Punkt über dem y steht. Aber das ist dasselbe, oder? |
Hallo Leute
Nachdem ich alle Aufgaben der Aufgabe 1, ausser eben oben genannte Aufgabe c gelöst habe steht ich da etwas an. Alle anderen (drei an der Zahl) waren ziemlich einfach ohne Substitutionen usw... Einfach separieren, integrieren und fertig.
Leider sehe ich den Weg nun nicht. Kann ich hier auch (irgendwie) separieren, oder muss ich zuerst irgendwas substituieren? Und wenn ja was?
Danke schonmal für eure Tipps.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo belimo!
Der Punkt über dem $y_$ gibt lediglich an, dass hier nach $t_$ abgeleitet wird; ist also im Prinzip dasselbe.
Auch hier kommst Du durch Trennung der Variablen weiter:
$y' \ = \ [mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-t^2}{t*y}$
[/mm]
[mm] $\blue{\integral}{y \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\bruch{1-t^2}{t} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\bruch{1}{t}-t \ dt}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Sa 09.06.2007 | | Autor: | belimo |
Ach bin ich blöd - klar ich kann ja einfach das y wegnehmen 
Danke jedenfalls für die gewohnt superschnelle Hilfe!
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| Aufgabe | | (Bezieht sich auf die Ausgangsfrage!) |
Hallo Loddar!
...und einen schönen gutn Morgen!
Könntest du mir das noch einmal ganz kurz in zwei Sätzen erläutern, die Lösung, die du hier vorgestellt hast?
Irgendwie kann ich sie nicht so ganz nachvollziehen.
Mir ist klar, dass die Variable, nach der abgeleitet ist, [mm]t[/mm] ist und desswegen:
[mm]\left \bruch{dy}{dt} \right=\left \bruch{1-t^2}{t} \right[/mm]
..aber dann: Wie hast du die "Variablen" so getrennt, dass du integrieren kannst und warum steht dann auf der linken Seite [mm]\integral_{}^{}y\, dt[/mm] und nicht [mm]\integral_{}^{}y'\, dt=y[/mm]?
Das wäre echt nett von dir, wenn du das einmal kurz beschreiben könntest!
Schon mal DANKE im Vorraus!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Goldener Schnitt!
Ich habe hier den Term $y'_$ durch [mm] $\bruch{dy}{dt}$ [/mm] ersetzt und anschließend diesen Bruch durch Multiplikation mit $dt_$ "zerlegt".
Wenn man die Gleichung dann auch noch mit $y_$ multipliziert, haben wir auf der linken Seite nur noch die Variable $y_$ und auf der rechten Seite nur noch $t_$'s .
Anschließend wird die Gleichung dann auf beiden Seiten integriert:
$y' \ = \ [mm] \bruch{1-t^2}{t*y}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{dy}{dt} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-t^2}{t*y}$ $\left| \ *dt$ $\left| \ *y$
$\gdw$ $y*dy \ = \ \bruch{1-t^2}{t}*dt$ $\left| \ \integral$
$\gdw$ $\integral y \ dy \ = \ \integral\bruch{1-t^2}{t} \ dt$
Gruß
Loddar
[/mm]
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Hallo Loddar!
Erstmal möchte ich mich für die Antwort bedanken.
Ich habe jedoch ein Verständnisproblem in soweit, dass ich irgendwie auch noch nicht nachvollziehen kann, dass man [mm]y[/mm] durch anschließendes Integrieren der Gleichung erhält, wie du es beschrieben hast.
Es steht doch...
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\integral y \ dy \ = \ \integral\bruch{1-t^2}{t} \ dt[/mm]
...und dann wird die linke Seite doch nicht zu [mm]y[/mm], oder?
Irgendwie kann ich das nicht so recht nachvollziehen! Könntest du es mir noch einmal kurz erklären?
Schon mal wieder DANKE!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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| Aufgabe | | (Siehe Fragestellung!) |
Hallo Loddar!
Erstmal möchte ich mich für die Antwort bedanken.
Ich habe jedoch ein Verständnisproblem in soweit, dass ich irgendwie auch noch nicht nachvollziehen kann, dass man [mm]y[/mm] durch anschließendes Integrieren der Gleichung erhält, wie du es beschrieben hast.
Es steht doch...
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\integral y \ dy \ = \ \integral\bruch{1-t^2}{t} \ dt[/mm]
...und dann wird die linke Seite doch nicht zu [mm]y[/mm], oder?
Irgendwie kann ich das nicht so recht nachvollziehen! Könntest du es mir noch einmal kurz erklären?
Ich habe diese Frage unabsichtlich als Mittleilung geschrieben, konnte dies aber nicht mehr rückgänig machen!
Schon mal wieder DANKE!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Goldener Schnitt!
Du musst selbstverständlich auch auf der linken Seite der Gleichung integrieren und erhältst dort:
[mm] $\bruch{1}{2}*y^2 [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Joa, soweit habe ich nicht gedacht gehabt, bis du es eben mir beschrieben hast!
Ich habe stattessen gedacht, du willst durch diese Umformung sofort die Lösung der DGL finden!
Jetzt erhalte ich:
[mm]y=\wurzel{2ln(t)-t^2}+C[/mm] [mm] \vee[/mm] [mm]y=-\wurzel{2ln(t)-t^2}+C[/mm]
Die additive konstante ließe sich bei solchen Anfangsbedingungen noch bestimmen, oder? Sind die Lösungen überhaupt korrekt?
Danke, das du dir die Zeit nimmst, meine Fragen zu beantworten!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Goldener Schnitt!
Die Integrationskonstante entsteht ja durch den Schritt der Integration; also vor der weiteren Umformung!
Von daher lauten die beiden möglichen Lösungen:
[mm] $y_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{2*\ln(t)-t^2+C \ }$ [/mm] (das $C_$ mit unter die Wurzel!)
Diese Konstante ließe sich jetzt nur durch die Angabe einer entsprechenden Anfangsbedingung (z.B.: $y(1) \ = \ 0$ ) bestimmen.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Erwstmal möchte ich mich, wenn auch etwas verspätet, für die Antwort bedanken!
Die additiven Konstanten sollten unter der Wurzel stehen; habe einen Eingabefehler gemacht.
Werde bestimmt bald wieder Fragen stellen; bis dann!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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