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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Do 14.10.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo zusammen,
ich muss nächste Woche einen Vortrag halten über Anwendungsaufgaben von Differentialgleichungen erster Ordnung.
Von DGL's habe ich zwar vorher schon mal gehört, aber es ist trotzdem das erste Mal, dass ich mich mit dem Thema auseinandersetze.
Jetzt habe ich eine grunsätzliche (vllt auch dumme) Frage (ja, vllt habe ich einfach ein Brett vorm Kopf, aber ich verstehe es echt nicht!):
Warum darf z.B. [mm]\frac{du}{dx}[/mm] als Bruch gesehen werden, mit dem ich Umformungen machen kann, alswäre es ein Bruch, obwohl es gar kein Bruch in dem Sinne ist?
Als Beispiel:
ich habe gegeben:
[mm]du=k(S-u) dx[/mm] und darf dann einfach "umformen" zu
[mm]\frac{du}{dx}=k(S-u) [/mm],
so läuft das zumindest in jedem Buch über DGL ab, das ich in der Hand hatte.
Ich hätte nur gerne eine erklärung, warum man das so schreiben darf, was also der Hintergrund davon ist.
Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte!
Gruß,
Hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Do 14.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Hanna!
Gegenfrage:
Was würdest du denn unter dem Ausdruck
[mm]du=k(S-u) dx[/mm]
verstehen?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Do 14.10.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo Julius!
Also, es geht um eine spezielle Klasse von Sättigungprozessen.
[mm]du=k(S-u)dx[/mm] mit [mm]k>0[/mm] als Konstanten und [mm]S[/mm] als Sättigungswert.
Die Gleichung sagt aus, dass der in der Argumentspanne [mm]dx[/mm] erfolgte Zuwachs [mm]du[/mm] proportional ist zu [mm]dx[/mm] und dem noch verbleibenden Spielraum zwischen Sättigung und schon erreichtem Zustand.
Das könnte man ja auch anders formulieren:
Für [mm]h\not=0[/mm] gilt:
[mm]u(x+h)-u(x)=h*(k(S-u))[/mm], oder?
Wobei [mm]h[/mm] dann die Argumentspanne [mm]dx[/mm] darstellen würde?!
Und diese Gleichung könnte ich durch [mm]h[/mm] dividieren und auf der linken Seite stünde dann [mm]u'(x)=\bruch{du}{dx}[/mm].
Mein Prof meinte aber, dass ich es mit fogendem Ansatz erklären sollte:
[mm]u(x+h)-u(x)=h*k(S-u)+h*g(x,h)[/mm], wobei g stetig in [mm](x,0)[/mm] und [mm]g(x,0)=0[/mm] gilt.
Ich verstehe dabei allerdings nicht, wofür ich die Funktion g überhaupt brauche und warum es dann auch noch eine Funktion mit zwei Variablen (also [mm]g(x,y)[/mm]) sein muss.
Wäre nett, wenn d mir da helfen könntest!
Liebe Grüße zurück,
Hanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 14.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Hanna!
Nun, eigentlich wollte ich darauf, dass
[mm]du=k(S-u) dx[/mm]
im Allgemeinen einfach nur eine laxe Schreibweise für
[mm]\frac{du}{dx}=k(S-u)[/mm]
ist, aber so scheint es bei euch ja nicht zu sein. 
> Das könnte man ja auch anders formulieren:
> Für [mm]h\not=0[/mm] gilt:
> [mm]u(x+h)-u(x)=h*(k(S-u))[/mm], oder?
Nein, es gilt nur
[mm]u(x+h) - u(x) \approx h * (k(S-u))[/mm],
und dieses [mm] $\approx$ [/mm] muss man nun mathematisch präzisieren und zwar so, dass man auch tatsählich den Grenzübergang
[mm] $\lim\limits_{h \to 0, \, h \ne 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}$
[/mm]
durchführen darf. Um dies gewährleisten zu können, führt man eine Funktion $g(x,h)$ ein, die einfach den Anstand von $u(x+h)-u(x)$ und $h * (k(S-u))$ misst.
Dadurch, dass $g(x,h)$ in $h$ stetig ist und $g(x,0)=0$ gilt, existiert überhaupt der Grenzwert
[mm] $\lim\limits_{h \to 0, \, h \ne 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim\limits_{h \to 0, \, h \ne 0} [/mm] [k(S-u) + g(x,h)] = k(S-u)$.
Hättest du an $g$ nicht genau diese Voraussetzungen gestellt, hättest du dir einfach nicht sicher sein können, dass obiger Grenzwert überhaupt gebildet werden darf!
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 14.10.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo Julius!
Danke für die schnelle Antwort!
> Nun, eigentlich wollte ich darauf, dass
>
> [mm]du=k(S-u) dx[/mm]
>
> im Allgemeinen einfach nur eine laxe Schreibweise für
>
>
> [mm]\frac{du}{dx}=k(S-u)[/mm]
>
> ist, aber so scheint es bei euch ja nicht zu sein.
Das soll ich ja gerade erklären, warum man das so machen darf, obwohl [mm] $\bruch{du}{dx}$ [/mm] nicht wirklich einen Bruch darstellt.
Mein Prof ist im Ansatz davon ausgegangen, dass [mm]u(x)[/mm] diffbar ist und dazu äquivalent ist ja
$ [mm] u(x+h)-u(x)=h\cdot{}k(S-u)+h\cdot{}g(x,h) [/mm] $
unter den entsprechenden Voraussetzungen an die Fkt g.
Aber ich verstehe nicht, was das wirklich damit zu tun hat, dass ich [mm] $\bruch{du}{dx}$ [/mm] in dem Fall als Bruch auffassen darf. Sorry, vielleicht habe ich da wirklich ein Brett vorm Kopf...
Es wäre auf jeden Fall sehr nett von Dir, wenn Du mir das noch erklären könntest.
Liebe Grüße,
Hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Do 14.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Hanna!
Ach so, das ist dein Problem.
Nun, hier gilt ganz sicher, dass [mm] $\frac{du}{dx}$ [/mm] nur eine andere Schreibweise für $u'(x)$ ist. 
Mehr steckt da nicht dahinter.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 14.10.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo nochmal!
Hm, also ich versuche jetzt einfach mal, das ganze am Stück zu erklären:
$u(x)$ ist differenzierbar
[mm] $\gdw$ [/mm] es gibt eine Funktion $g(x,h)$, stetig in $(x,0)$ (nicht in $h$, oder?) und $g(x,0)=0$, [mm] h\not=0, [/mm] und
$u(x+h)-u(x)=h*k(S-u)+h*g(x,h)$ (was ja quasi die Aussage $du=k(S-u)dx$ wäre)
[mm] $\gdw \bruch{u(x+h)-u(x)}{h}=k(S-u)+g(x,h)$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{du}{dx}=u'(x)= \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{u(x+h)-u(x)}{h}=k(S-u)+\limes_{h\rightarrow\0}g(x,h)=k(S-u).$
[/mm]
Und das wars schon?
Damit habe ich dann begründet, dass
$du=k(S-u)dx [mm] \gdw \bruch{du}{dx}=k(S-u)$?
[/mm]
Gruß, Hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Do 14.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Hanna!
Mir ist das alles sehr suspekt.
> [mm]u(x)[/mm] ist differenzierbar
> [mm]\gdw[/mm] es gibt eine Funktion [mm]g(x,h)[/mm], stetig in [mm](x,0)[/mm] (nicht
> in [mm]h[/mm], oder?)
...stetig (als Funktion von $h$) in $(x,0)$...
> und [mm]g(x,0)=0[/mm], [mm]h\not=0,[/mm]
Was macht hier das $h [mm] \ne [/mm] 0$?
> und
> [mm]u(x+h)-u(x)=h*k(S-u)+h*g(x,h)[/mm] (was ja quasi die Aussage
> [mm]du=k(S-u)dx[/mm] wäre)
Hier verlasse ich mich auf eure Definition. Für mich bedeutet nach Definition die Aussagen $du = k(S-u)dx$ gerade [mm] $\frac{du}{dx} [/mm] = k (S-u)$, es ist nur eine andere Schreibweise (und damit ist nichts zu zeigen). Wenn ihr das so definiert habt wie du es angibst, dann ist natürlich was zu zeigen.
> [mm]\gdw \bruch{u(x+h)-u(x)}{h}=k(S-u)+g(x,h)[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{du}{dx}=u'(x)= \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{u(x+h)-u(x)}{h}=k(S-u)+\limes_{h\rightarrow\0}g(x,h)=k(S-u).[/mm]
>
>
> Und das wars schon?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (unter der Prämisse, dass ihr alles so definiert habt wie du es hier angibst)
> Damit habe ich dann begründet, dass
> [mm]du=k(S-u)dx \gdw \bruch{du}{dx}=k(S-u)[/mm]?
Nach der obigen Definition: Ja!
Aus meiner Sicht ist da, wie gesagt, nichts zu zeigen, denn es ist aus meiner Sicht nur die Differentialschreibweise für die Ableitung.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Fr 15.10.2004 | | Autor: | hanna |
Guten Morgen Julius!
> Für mich
> bedeutet nach Definition die Aussagen [mm]du = k(S-u)dx[/mm] gerade
> [mm]\frac{du}{dx} = k (S-u)[/mm], es ist nur eine andere
> Schreibweise (und damit ist nichts zu zeigen).
Das ist bei uns leider nicht so. Naja, ich hoffe, dass ich das für meinen Prof jetzt richtig begründet habe.
Montag weiß ich mehr und dann schreibe ich noch mal.
Schönes Wochenende!
Hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:00 Di 19.10.2004 | | Autor: | hanna |
Guten Morgen Julius!
Ich war gestern meinem Prof und eigentlich sollte ich ihm ja auch erklären, warum man nun so rechnen darf.
Das konnte ich allerdings nicht wirklich und mein Prof konnte es mir auch nicht erklären, er suche selber nach einer Methode, das mal ordentlich aufzuschreiben, weil auch kein Buch darauf eingeht.
Damit hat sich das Probelm zwar nicht wirklich erledigt, dafür muss es aber nicht in meinem Vortrag auftauchen.
Danke noch mal, dass du mit mir überlegt hast!
Liebe Grüße,
Hanna
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