eine Frage an den Begriff... < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein Metrischer Raum. Dann gilt:
[mm] \emptyset, [/mm] und X sind "offensichtlich" offen.
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Hallo,
hab den Teil Topologie vom Grundlage der Mathe gelernt:
[mm] B\varepsilon(x) [/mm] ist ein offener kugel von x, und [mm] B\varepsilon={y|d(x,y)< \varepsilon},und [/mm] X [mm] \supset [/mm] U heißt Umgebung, wenn es ein [mm] \varepsilon [/mm] existiert, so dass [mm] B\varepsilon(x) \subset [/mm] U gilt, und offen heißt, dass für alle x [mm] \in [/mm] X, wenn [mm] B\varepsilon(x) \subset [/mm] U gilt. D.h. wenn man eine offene Menge zeigt, muss sie die Bedingungen erfüllen, aber wieso kann es so behauptet werden, dass ein metrischer Raum "offensichtlich" offen ist?! Und warum ist eine leere Menge auch offensichtlich offen?! Kann Jemand mir helfen, es zu erklären?! Vielen Dank!!
VG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:06 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> hab den Teil Topologie vom Grundlage der Mathe gelernt:
Von was? (Ich nehme an, dass du nicht Muttersprachler bist, oder? Nur um Verständnisprobleme gleich vorzubeugen zu versuchen)
> [mm]B\varepsilon(x)[/mm] ist ein offener kugel von x, und
> [mm]B\varepsilon={y|d(x,y)< \varepsilon},und[/mm] X [mm]\supset[/mm] U heißt
> Umgebung, wenn es ein [mm]\varepsilon[/mm] existiert, so dass
> [mm]B\varepsilon(x) \subset[/mm] U gilt,
Umgebung von x.
> und offen heißt, dass für
> alle x [mm]\in[/mm] X, wenn [mm]B\varepsilon(x) \subset[/mm] U gilt. D.h.
Das, wenn ein x entahlten ist, ein [m]\varepsilon[/m] gibt, mit ...
> wenn man eine offene Menge zeigt, muss sie die Bedingungen
> erfüllen, aber wieso kann es so behauptet werden, dass ein
> metrischer Raum "offensichtlich" offen ist?!
Naja, kann man immer, wenn es einen klar ist. Naja, nimm ein [m]x\in X[/m], mit was für einem [mm] 8m]\varpesilon[/m] [/mm] kannst du die Bedingung erfüllen?
> Und warum ist
> eine leere Menge auch offensichtlich offen?!
Naja, es gibt ja kein x in ihr - damit ist die Bedingung immer erfüllt.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:19 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei X ein Metrischer Raum. Dann gilt:
> [mm]\emptyset,[/mm] und X sind "offensichtlich" offen.
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> Hallo,
> hab den Teil Topologie vom Grundlage der Mathe gelernt:
> [mm]B\varepsilon(x)[/mm] ist ein offener kugel von x, und
> [mm]B\varepsilon={y|d(x,y)< \varepsilon},und[/mm] X [mm]\supset[/mm] U heißt
> Umgebung, wenn es ein [mm]\varepsilon[/mm] existiert, so dass
> [mm]B\varepsilon(x) \subset[/mm] U gilt, und offen heißt, dass für
> alle x [mm]\in[/mm] X, wenn [mm]B\varepsilon(x) \subset[/mm] U gilt. D.h.
> wenn man eine offene Menge zeigt, muss sie die Bedingungen
> erfüllen, aber wieso kann es so behauptet werden, dass ein
> metrischer Raum "offensichtlich" offen ist?! Und warum ist
> eine leere Menge auch offensichtlich offen?! Kann Jemand
> mir helfen, es zu erklären?! Vielen Dank!!
[mm] $X\,$ [/mm] ist selbst offen, denn:
Ist $x [mm] \in [/mm] X$, so setze [mm] $\varepsilon=\varepsilon_x:=1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] (Beachte: [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist hier in Wahrheit unabhängig von [mm] $x\,.$) [/mm] Dann ist [mm] $B_{\varepsilon}(x)=\{y \in X: d(x,y) < 1\}$ [/mm] natürlich selbstverständlich eine Teilmenge von [mm] $X\,,$ [/mm] denn per Definitionem steht da: [mm] $B_{\varepsilon}(x)=\{\blue{y \in X}:\ldots\}$.
[/mm]
Also [mm] $B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] X$ ist offensichtlich.
Und die leere Menge ist auch offen. Wäre sie es nicht, so gäbe es ein [mm] $x_0 \in \emptyset \cap [/mm] X$ derart, dass ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon_{x_0} [/mm] > 0$ so existierte, dass dann [mm] $B_{\varepsilon}(x_0)$ [/mm] nicht ganz in der leeren Menge enthalten wäre. Hier steht aber schon der Widerspruch, dass es überhaupt ein [mm] $x_0 \in \emptyset$ [/mm] geben kann...
P.S.:
Übrigens kann man, mit einem gewissen Wissen, auch anders argumentieren. Man überlegt sich, dass [mm] $X\,$ [/mm] auch abgeschlossen ist. Dann braucht man die Kenntnis: Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist. Und das Komplement von [mm] $X\,$ [/mm] ist gerade [mm] $X^c=X \setminus X=\emptyset\,,$ [/mm] so dass man so auch erkennt, dass [mm] $\emptyset$ [/mm] offen ist.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
vielen Dank für eure Erklärungen. Jetzt habe ich verstanden. Also wünsche euch ein schönes Wochenende!!
VG
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