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e-funktion, abiaufgabe: oder über abi niveu!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Do 15.03.2007
Autor: bcs

hallo!
hab probleme mit dieser aufgabe:
soll am mittwoch als referat halten!
die 1 hab ich naja schon einiger massen.
stellt sich dabei nur die frage was mit der 3 vor dem e beim ableiten passiert...
die andern aufgaben hab ich eigentlich noch gar nicht!
mach mich da heut dran!
die funktion soll   g index k (x) = 3*e hoch -kx² heißen, komm mit der eingabehilfe da unten nicht zu recht.

also hier die aufgabe:

Aufgabe
Gegeben ist die Funktionenschar  [mm] g_k(x)=3e^{-kx²} [/mm] mit k > 0.
1. Diskutieren Sie die Funktionsgraphen von [mm] g_k [/mm] und zeichnen Sie [mm] g_1 [/mm] .

2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt $ [mm] S(0;\bruch{6}{\wurzel e} [/mm] )$ schneiden und berechnen Sie die Flächeninhalte , die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
habs ganz oben auch ausgebessert!
3. In den Wendepunkten werden jeweils die Lote auf die Koordinatenachsen gefällt. Diese
Lote schließen mit den Koordinatenachsen Rechtecksflächen A'_k ein.
Berechnen sie [mm] A_k:A'_k [/mm] .
4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Koordinaten des Schnittpunktes T der
Funktionen gk und g’k Berechnen Sie die Ortskurve des Schnittpunktes T.
5. Berechnen Sie die Kurvenpunkte von [mm] g_1 [/mm] , die vom Ursprung die kleinste Entfernung haben. Wie groß ist diese Entfernung?


Ich habe diese Frage in Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=899587#899587
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=71655
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000016019&kat=Schule&

hoffe, dass ihr mir helfen könnt!
cu
christian
        
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e-funktion, abiaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Do 15.03.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Christian,

kurz zu deiner Frage nach der Ableitung,

du hast [mm] g_k(x)=3\cdot{}e^{-k\cdot{}x^2} [/mm] , k>0

Nun, die 3 kannst du beim Ableiten als multiplikative Konstante stehen lassen (wie wenn du zB [mm] f(x)=3x^2 [/mm] ableitest [mm] \Rightarrow f'(x)=3\cdot{}2x) [/mm]

und die [mm] e^{-kx^2} [/mm] kannst du mit der Kettenregel verarzten, wobei [mm] e^x [/mm] die äußere Funktion und [mm] -kx^2 [/mm] die innere Funktion ist.

Kontrolle [mm] g_k'(x)=-6kxe^{-k\cdot{}x^2} [/mm]

Gruß

schachuzipus

PS: Wenn du auf meine Formeln klickst, wird angezeigt, wie sie eingegeben werden ;-)
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e-funktion, abiaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Do 15.03.2007
Autor: bcs

also, die erste hab ich jetzt gerechnet, aber die ergebnisse scheinen mir doch sehr komisch.
sollte eben diskutieren.
1. hab ich die Symmetrie zur y-Achse beweisen, weil da eben x² steht und das - dann + wird.
2. dadurch keine Punktysmmetrie zum Ursprung
3. Extremstellen
g' k (x) = -6kx e ^(-kx²)
hier ist doch x=0, dann 0 in g''k(x) eingesetzt kommt auch 0 raus!
aber irgendwie kann des doch nich stimmen.
weil des muss doch > bzw. < als 0 sein um dann entweder TP oder HP ist und was kommt so dann heraus?
bekomm dann einen Extrempunkt [mm] (0\3) [/mm]
g''k (x) = 12k²x² e ^(-kx²)
g'''k (x) = -24k³x³ e ^(-kx²)
und beim wendepunkt auch. bedeutet, dass dann das der Extrempunkt ein Wendepunkt ist?
Für x gegen + unendlich hab ich - unendlich
und für gegen - hab ich + rausbekommen!
werde mich dann mal an die 2 vorwagen!
ich versteh diesen editor nich!!
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e-funktion, abiaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Do 15.03.2007
Autor: VNV_Tommy


> also, die erste hab ich jetzt gerechnet, aber die
> ergebnisse scheinen mir doch sehr komisch.
>  sollte eben diskutieren.
>  1. hab ich die Symmetrie zur y-Achse beweisen, weil da
> eben x² steht und das - dann + wird.

[daumenhoch] Stimmt.

>  2. dadurch keine Punktysmmetrie zum Ursprung

[daumenhoch] Stimmt auch.

>  3. Extremstellen
> g' k (x) = -6kx e ^(-kx²)
>  hier ist doch x=0, dann 0 in g''k(x) eingesetzt kommt auch
> 0 raus!

x=0 ist tatsächlich eine Extremstelle. Allerdings ist deine zweite Ableitung falsch. Du musst [mm] g^{,}_{k}(x)=-6kx*e^{-k*x^{2}} [/mm] nach Produktregel ableiten.

Zur Kontrolle: [mm] g^{,,}_{k}(x)=e^{-k*x^{2}}(12k^{2}x^{2}-6k) [/mm]

Gruß,
Tommy
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e-funktion, abiaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Fr 16.03.2007
Autor: bcs

also hab jetzt mal(hab nämlich freitag abends nix besseres zu tun!!) die 1 zusammen geschrieben, habs dann eingescannt und hochgeladen!
hab zu fast allem fragen...
ist des so richtig so?
aus dem steigen und fallen werd ich überhaupt nich schlau, steigt des bis -6k und hat dann sowas wie n hochpunkt und sinkt dann?
Ist den HP richtig?
was is das mit der stetigkeit? warum komm ich da dann auf einen Tiefpunkt?
hat die krümmung eine wendestelle bei +/- 1/ wurzel 2k ?
ist die bei + oder - links oder rechts gekrümmt?
ist der wendepunkt ein terrassenpunkt?

also hier die scans:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]

gott ich hab schon lange nix mehr gerechnet...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 6 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
e-funktion, abiaufgabe: (Teil-)Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 Sa 17.03.2007
Autor: Loddar

Hallo bcs,

[willkommenmr] !!


- Symmetrie hast Du richtig gelöst [ok] .

- Bei der Monotonie (monoton fallend bzw. monoton steigend) machst Du im letzten Schritt einen Rechenfehler. Es gilt ja:

[mm] $\bruch{0}{-6k} [/mm] \ = \ 0$


Damit gilt auch für die Monotonie:

[mm] $\text{monton steigend}$ [/mm]  für  $x \ < \ 0$

[mm] $\text{monton fallend}$ [/mm]   für  $x \ > \ 0$


- Die Extremstelle des Extrempunktes ist richtig ermittelt und nachgewiesen. Allerdings gehört zum Extrempunkt noch der entsprechende Funktionswert [mm] $y_E [/mm] \ = \ [mm] g_k(x_E) [/mm] \ = \ [mm] g_k(0) [/mm] \ = \ ...$ .


- Was Du im Abschnitt Stetigkeit rechnest bzw. nachweisen willst, erschließt sich mir gar nicht.


- Im Abschnitt Krümmung musst Du im letzten Umformungsschritt aufpassen. Und zwar nach dem Wurzelziehen.

Zum Beispiel bei der Rechtskrümmung:

[mm] $x^2 [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{2k}$ [/mm]

[mm] $\red{\left|}x\red{\right|} [/mm] \ > \ [mm] \wurzel{\bruch{1}{2k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2k}}$ [/mm]

[mm] $\red{\pm}x [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2k}}$ [/mm]

$x \ > \ [mm] +\bruch{1}{\wurzel{2k}}$ [/mm]   oder   $x \ < \ [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2k}}$ [/mm]



- Die Wendestelle ist richtig ermittelt. Auch wenn ich eine leicht andere 3. Ableitung habe:

[mm] $g_k'''(x) [/mm] \ = \ [mm] 12k^2*x*e^{-k*x^2}*\left(\red{3}-2k*x^2\right)$ [/mm]

Auch hier den entsprechenden Funktionswert [mm] $y_W [/mm] \ = \ [mm] g_k(x_W) [/mm] \ = \ ...$ nicht vergessen ...


Wenn diese Wendepunkte auch Terrrassenpunkte sein sollen, müssen sie auch eine horizontale Tangente (sprich: 1. Ableitung [mm] $g_k'(x_W) [/mm] \ = \ 0$) vorliegen haben.


Gruß
Loddar

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e-funktion, abiaufgabe: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 13:54 Sa 17.03.2007
Autor: bcs

ok...
hab mal den HP ausgerechnet und bekomm dann
HP(-6k ; [mm] 3e^{36 k^{3}}) [/mm]
und der y-wert wär für k=1 [mm] 1,29*10^{16} [/mm] . des kann doch nich richtig sein.

für die krümmung hab ich x > + [mm] \frac{1}{\sqrt{2k}} [/mm]  , also linksgekrümmt und
x > - [mm] \frac{1}{\sqrt{2k}} [/mm]   also rechtgekrümmt. müsste eigentlich stimmen?!

für den wendepunkt bekomm ich ein ähnlich komisches ergebniss wie für den HP  
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm \frac{1}{\sqrt{2k}} [/mm]
also

[mm] WP_1 (\frac{1}{\sqrt{2k}} [/mm] ; [mm] 3e^{- \frac{1}{2} k²}) [/mm]
[mm] WP_2 (\frac{1}{\sqrt{2k}} [/mm] ; [mm] 3e^{\frac{1}{2} k²}) [/mm]
und die werte find ich auch komisch, deswegen konnt ich für k=1 immer noch keinen Graphen zeichnen.. ;(
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e-funktion, abiaufgabe: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:59 Di 20.03.2007
Autor: Mary15


>  
> Zum Beispiel bei der Rechtskrümmung:
>  
> [mm]x^2 \ < \ \bruch{1}{2k}[/mm]
>  
> [mm]\red{\left|}x\red{\right|} \ > \ \wurzel{\bruch{1}{2k}} \ = \ \bruch{1}{\wurzel{2k}}[/mm]
>  
> [mm]\red{\pm}x \ > \ \bruch{1}{\wurzel{2k}}[/mm]
>  
> [mm]x \ > \ +\bruch{1}{\wurzel{2k}}[/mm]   oder   [mm]x \ > \ -\bruch{1}{\wurzel{2k}}[/mm]
>  
>
>

Hallo,
es ist mir in deiner Berechnung ein Fehler aufgefallen.

[mm] x^2 [/mm]  <  [mm] \bruch{1}{2k} [/mm]

[mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2k} [/mm] <0
[mm] (x-\bruch{1}{\wurzel{2k}})(x+\bruch{1}{\wurzel{2k}}) [/mm] < 0

bei k > 0
Die Lösung ist also: [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2k}} [/mm] < x < [mm] \bruch{1}{\wurzel{2k}} [/mm]
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e-funktion, abiaufgabe: Teilkorrektur 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:23 Sa 17.03.2007
Autor: leduart

Hallo bcs
Falsch ist deine auswertun fuer fallend und steigend!
richtig: wenn -6kx>0 steigend, aber ein produkt ist pos. wenn beide Faktoren pos, oder beid neg. also -6kx>0 fuer x<0.
und -6kx<0 fuer x>0.
Was du da unter Stetigkeit geschrieben hast versteh ich auch nicht, irgendwo steht TP sowas gibts hier aber nicht.
Gruss leduart
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e-funktion, abiaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Di 20.03.2007
Autor: M.Rex

Hallo

Hier hast du mal ein Bild mit für verscheiden k's gezeichneten Graphen, gezeichnet übrigens per []Funkyplot

[Dateianhang nicht öffentlich]

Daran kannst du mal deine Ergebnisse überprüfen

Marius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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