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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | BEstimmen sie die lokalen Extrema dieser Funktion und geben sie jeweils an, ob es sich um Minima oder Maxima handelt.
f(x) = a(1- [mm] e^{x} [/mm] ) + b (1- [mm] e^{-x} [/mm] ) |
Ich habe jetzt ausmultipliziert und abgeleitet:
f(x)= [mm] a-ae^{x}+b-be^{-x}
[/mm]
f'(x)= -a [mm] e^{x}+b e^{-x}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht weiter. Ich hätte jetzt gedacht, da es eine Summe aus e-FUnktionen ist und eine e-FUnktion nie null wird, kann auch die SUmme nie null werden. FOlglich hat die erste Ableitung keine Nullstellen also gibt es keine Extrema???
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Hallo sissenge,
Du hörst zu schnell auf. Da geht doch noch was...
> BEstimmen sie die lokalen Extrema dieser Funktion und geben
> sie jeweils an, ob es sich um Minima oder Maxima handelt.
>
> f(x) = a(1- [mm]e^{x}[/mm] ) + b (1- [mm]e^{-x}[/mm] )
>
> Ich habe jetzt ausmultipliziert und abgeleitet:
> f(x)= [mm]a-ae^{x}+b-be^{-x}[/mm]
>
> f'(x)= -a [mm]e^{x}+b e^{-x}[/mm]
Ja, klar. Das hättest Du übrigens auch ohne Ausmultiplizieren hinbekommen können, aber egal. Das Ergebnis zählt.
> Jetzt weiß ich nicht weiter. Ich hätte jetzt gedacht, da
> es eine Summe aus e-FUnktionen ist und eine e-FUnktion nie
> null wird, kann auch die SUmme nie null werden. FOlglich
> hat die erste Ableitung keine Nullstellen also gibt es
> keine Extrema???
Warum sollte man dann so eine Aufgabe stellen?
[mm] -a*e^x+b*e^{-x}=0\ \gdw\ ae^x=be^{-x}\ \gdw\ \bruch{e^x}{e^{-x}}=\tfrac{b}{a}\ \cdots
[/mm]
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ok.. aber wie kann ich jetzt ableiten???ich habe doch jetzt auf einer seite eine Konstante.. bzw. muss ich dann beide seiten ableiten...also links Quotientenregel und rechts 0 ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Di 17.05.2011 | | Autor: | Blech |
Das ist ja schon Deine Ableitung. Es geht darum, die Nullstellen zu finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
wer denken kann ist leicht im vorteil.......
Aber wenn ich dann schreibe:
f'(x) = -a [mm] e^{x} [/mm] + b [mm] e^{-x} [/mm] = 0
b [mm] e^{-x}= [/mm] a [mm] e^{x}
[/mm]
b/a = [mm] e^{x} [/mm] / [mm] e^{-x}
[/mm]
Zwischenfrage: ist denn [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] 1/e^{x} [/mm] ???
So jetzt könnte ich den ln anwenden??
ln(b) / ln(a) = x/-x
stimmt das?? weil dann fällt x ja raus
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Hmpfff...
Hallo nochmal,
kannst Du die  Potenzgesetze?
> wer denken kann ist leicht im vorteil.......
>
> Aber wenn ich dann schreibe:
>
> f'(x) = -a [mm]e^{x}[/mm] + b [mm]e^{-x}[/mm] = 0
>
> b [mm]e^{-x}=[/mm] a [mm]e^{x}[/mm]
>
> b/a = [mm]e^{x}[/mm] / [mm]e^{-x}[/mm]
>
> Zwischenfrage: ist denn [mm]e^{-x}[/mm] = [mm]1/e^{x}[/mm] ???
Ja.
> So jetzt könnte ich den ln anwenden??
Ich würde erstmal fertig zusammenfassen.
> ln(b) / ln(a) = x/-x
> stimmt das?? weil dann fällt x ja raus
Nein, das stimmt überhaupt nicht. Auch Logarithmen haben so ihre Rechengesetze.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:30 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Also ich habe jetzt folgendes gemacht:
[mm] e^{x} [/mm] / [mm] e^{-x} [/mm] = b/a
[mm] (e^{x})^2 [/mm] = b/a
[mm] e^{2x}= [/mm] b/a
ln( [mm] e^{2x}) [/mm] = ln ( b/a)
2x = ln (b/a)
x= [mm] \bruch{ln(b) - ln(a)}{2}
[/mm]
okay, so um herauszufinden ob es ein Minima oder Maxima ist muss ich die 2. Ableitung machen oder gibt es einen "offensichtlichen" weg wie ich sagen kann wann es ein Minima und wann es ein maxima ist??
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Hallo nochmal,
ah, endlich!
> Also ich habe jetzt folgendes gemacht:
>
> [mm]e^{x}[/mm] / [mm]e^{-x}[/mm] = b/a
>
> [mm](e^{x})^2[/mm] = b/a
> [mm]e^{2x}=[/mm] b/a
>
> ln( [mm]e^{2x})[/mm] = ln ( b/a)
> 2x = ln (b/a)
> x= [mm]\bruch{ln(b) - ln(a)}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Jetzt ist alles richtig.
> okay, so um herauszufinden ob es ein Minima oder Maxima ist
> muss ich die 2. Ableitung machen oder gibt es einen
> "offensichtlichen" weg wie ich sagen kann wann es ein
> Minima und wann es ein maxima ist??
Der Singular heißt "Minimum" bzw. "Maximum".
Ja, es gibt einen Weg ohne die 2. Ableitung. Wenn [mm] x_0 [/mm] die obige Gleichung erfüllt, wechselt dann f'(x) bei [mm] x_0 [/mm] das Vorzeichen? Wenn ja, in welche Richtung?
$ [mm] +\to [/mm] - [mm] \Rightarrow [/mm] $ Maximum
$ [mm] -\to [/mm] + [mm] \Rightarrow [/mm] $ Minimum
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Tschuldigung aber was soll x0 sein???
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Hallo sissenge,
> Tschuldigung aber was soll x0 sein???
[mm]x_{0[/mm] ist derjenige Kandidat,
der die Bedingungsgleichung [mm]f'\left(x\right)=0[/mm] erfüllt.
Daher ist
[mm]x_{0}= \bruch{ln(b) - ln(a)}{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:01 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok...
ich vermute ich muss jetzt unterscheiden, ob b>a oder a>b ist
wenn a>b dann ist x0 negativ.
allerdings kann ich das nicht auf f(x) umsetzten. ich muss mir ja jetzt die Klammer angucken
[mm] (1-e^{x}) [/mm] und [mm] (1-e^{-x})
[/mm]
wenn x0 postiv ist, dann ist [mm] (1-e^{x})<0 [/mm] und [mm] (1-e^{-x})>0
[/mm]
und da a<b ist f(x) >0
und wenn x0 negativ ist dann ist [mm] (1-e^{x})>0 [/mm] und [mm] (1-e^{-x})<0
[/mm]
und da a>b ist f(x) >0
damit ergibt sich aber kein Vorzeichenwechsel
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Hallo sissenge,
> Ok...
> ich vermute ich muss jetzt unterscheiden, ob b>a oder a>b
> ist
> wenn a>b dann ist x0 negativ.
>
> allerdings kann ich das nicht auf f(x) umsetzten. ich muss
> mir ja jetzt die Klammer angucken
> [mm](1-e^{x})[/mm] und [mm](1-e^{-x})[/mm]
>
> wenn x0 postiv ist, dann ist [mm](1-e^{x})<0[/mm] und [mm](1-e^{-x})>0[/mm]
> und da a<b ist f(x) >0
>
> und wenn x0 negativ ist dann ist [mm](1-e^{x})>0[/mm] und
> [mm](1-e^{-x})<0[/mm]
> und da a>b ist f(x) >0
>
> damit ergibt sich aber kein Vorzeichenwechsel
>
Es ist doch [mm]f'\left(x}\right)[/mm] in einer Umgebung von [mm]x_{0}[/mm] zu betrachten. d.h welches Vorzeichen hat f' wenn [mm]x < x_{0}[/mm] bzw. [mm]x > x_{0}[/mm]. Natürlich kann das abhängig vp, Verhältnis a/b sein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Achso ich hab mir ja f(x) angeguckt.
aber wie kann ich einen Punkt finden, der einbisschen größer als x0 und ein bisschen kleiner als x0 ist. Ich habe ja keinen exakten wert....
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Hallo nochmal,
du brauchst auch keinen exakten Wert. Du kannst Dir doch auch so überlegen, wie sich die Funktion in der Umgebung der Nullstelle verhält.
Wenn die Funktion f(x)=x-a hieße, hättest Du auch keinen "exakten" Wert, aber Du wüsstest, dass sie an der Nullstelle [mm] x_0=a [/mm] vom Negativen ins Positive wechselt.
Nun ist Deine Funktion etwas diffiziler. Wenn aber a und b fest vorgegeben sind, dann kannst Du doch überlegen, wie der Funktionswert ganz nahe "links" und "rechts" von der Nullstelle ist.
Überleg nochmal, welche Funktion Du eigentlich betrachtest.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ICh betrachte eine e-FUnktion....
sorry aber ich komm überhaupt nicht drauf...Soll ich mir denn jetzt f(x) anschauen oder f'(x) ???
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Hallo!
Aha. Wenn Du gerade nicht weißt, was Du eigentlich untersuchst, kann das ja nicht klappen... Also vor allem: cool bleiben, in Ruhe nochmal nachsehen. Verlier nicht das Ziel aus den Augen, sonst hast Du (z.B. in Klausuren) ein Problem.
Du untersuchst [mm] f'(x)=-a*e^x+b*e^{-x} [/mm] an der Stelle [mm] x_0=\bruch{\ln{b}-\ln{a}}{2}
[/mm]
Bilde doch mal die zweite Ableitung, vielleicht geht das einfacher. Wenn [mm] f''(x_0)<0 [/mm] ist, hat f(x) bei [mm] x_0 [/mm] ein Maximum, wenn [mm] f''(x_0)>0 [/mm] ist, ein Minimum.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok... so hab ich das sonst auch immer gemacht.. nur mit diesen e-funktionen komme ich ncith zurecht
also f''(x) = [mm] -ae^x [/mm] - be^-x
aber jetzt kann ich ja schlecht lnb-lna /2 einsetzten...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok... so hab ich das sonst auch immer gemacht.. nur mit
> diesen e-funktionen komme ich ncith zurecht
>
> also f''(x) = [mm]-ae^x[/mm] - be^-x
>
> aber jetzt kann ich ja schlecht lnb-lna /2 einsetzten...
Warum denn nicht ? Wir haben:
$ [mm] x_{0}= \bruch{ln(b) - ln(a)}{2} [/mm] $
Oben hast Du doch gesehen, dass für dieses [mm] x_0 [/mm] gilt: [mm] ae^{x_0}=be^{-x_0}
[/mm]
Dann ist doch
[mm] $f''(x_0)=-2ae^{x_0}<0$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Woher weißt du, dass dann f''(x) < 0
nur weil ein Minus davor steht... und e^x0 immer positiv ist....
aber muss ich dann nciht unterscheiden ob b<a oder b>a ist weil dann ändert sich ja auch [mm] e^x...
[/mm]
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Hallo, [mm] e^{x_0}>0, [/mm] ist nicht das Problem, für [mm] x_0 [/mm] gilt [mm] x_0=\bruch{ln(b)-ln(a)}{2} [/mm] jetzt schaue dir mal die Logarithmusdefinition an, z.B. ln(-25), was gilt für a, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Tschuldigung falls ich das am Anfang nicht geschrieben hab:
a,b > 0 :D
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Hallo,
wie schön. Dann liegt ja kein Problem mehr vor.
Es ging um [mm] f''(x)=-ae^x-be^{-x}<0
[/mm]
für [mm] x\in\IR [/mm] gilt doch [mm] e^x>0 [/mm] und [mm] e^{-x}>0. [/mm] Gegeben war noch a>0 und b>0.
Wo ist denn jetzt noch die Schwierigkeit?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ja danke jetzt hattte ich es dann auch verstanden, als ich germekt hatte, dass ihr meint dass a evtl negativ sein könnte....
vielen lieben dank!
JEtzt habe ich nur noch eine Frage, wie kann ich untersuchen, ob es ein globales Maximum ist??
Also ich kenne die Definition f(x0) >= f(x)
aber ich kann das nicht umsetzten
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Hallo,
> ja danke jetzt hattte ich es dann auch verstanden, als ich
> germekt hatte, dass ihr meint dass a evtl negativ sein
> könnte....
>
> vielen lieben dank!
>
> JEtzt habe ich nur noch eine Frage, wie kann ich
> untersuchen, ob es ein globales Maximum ist??
>
> Also ich kenne die Definition f(x0) >= f(x)
>
> aber ich kann das nicht umsetzten
Dann überleg Dir doch mal, was es besagt, dass f''(x) überall negativ ist. Kann es einen Funktionswert geben, der größer ist als das ermittelte Maximum? Wenn ja, wie müsste dann f'(x) verlaufen? Und wenn nein, warum nicht?
Und mit Deiner Definition müsstest Du halt mal untersuchen, ob es ein x geben kann, so dass [mm] f(x)>f(x_0) [/mm] ist. Dabei steht der Wert [mm] f(x_0) [/mm] ja jetzt fest, Du musst ihn wohl nur noch ausrechnen.
Grüße
reverend
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