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hallO!!
zuerst möchte ich gern wissen, ob meine ergenisse der ableitungen richtig sind:
f'(x) = [mm] \bruch{-lnx}{x^2}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{-1 + 2*lnx}{x^3}
[/mm]
f'''(x)= [mm] \bruch{9- 6*lnx}{x^4}
[/mm]
bei der letzten bin ich mir nichts so sicher...
den rest der aufgabe rechne ich dann morgen und poste es hier!
mfg
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> f'(x) = [mm]\bruch{-lnx}{x^2}[/mm]
> f''(x)= [mm]\bruch{-1 + 2*lnx}{x^3}[/mm]
soweit hab ichs genauso
> f'''(x)= [mm]\bruch{9- 6*lnx}{x^4}[/mm]
> bei der letzten bin ich mir nichts so sicher...
hier hab ich anstatt der 9 eine 5 [mm]f'''(x)= (\bruch{-1 + 2*lnx}{x^3})'=(-x^{-3}+2ln(x)*x^{-3})'=3x^{-4}+2ln(x)*(-3x^{-4})+\bruch{2}{x}*x^{-3}[/mm]
[mm]=\bruch{3}{x^4}+\bruch{2ln(x)*-3}{x^4}+\bruch{2}{x^4}=\bruch{5- 6*lnx}{x^4}[/mm]
ich hoff es stimmt so. bin nach so einer langen Pause ein bißchen außer Übung
lg Silke
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hallo!!
zu a) D= R+ \ 0, extrema (1/1), wendepunkt (e^ [mm] \bruch{1}{2}/ [/mm] 0,91)
zu c) lim f(x) für x gegen 0 = [mm] -\infty [/mm] und lim f(x) für x gegen [mm] \infty [/mm] = 0
zu d) y= -0,18x + 1,21 --> hier bin ich mir unsicher. kurzer rechenweg von mir: y -y0 = f'(x0)*(x-x0) mit x0=e^ [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] y0 =0,91 und f'(x0)= -0,18
dann habe ich es halt eingesetzt
zu e) hier hab ich eine substitution mit u=x und u=lnx versucht, aber ich kam auf kein ergebnis?!? gibt es einen besseren ansatz?
mfg
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Hi, declatereter,
> zu a) D= R+ \ 0,
Zwar nicht falsch, aber: bei [mm] \IR^{+} [/mm] ist die 0 sowieso nicht dabei!
> extrema (1/1),
Die Endung "a" ist Mehrzahl (Plural); Einzahl (Singular) heißt "Extremum".
Sag lieber: Hochpunkt H(1 ; 1)
> wendepunkt (e^[mm]\bruch{1}{2}/[/mm] 0,91)
[mm] y_{W} [/mm] = [mm] 1,5*e^{-0,5} [/mm] (exakt!)
>
> zu c) lim f(x) für x gegen 0 = [mm]-\infty[/mm] und lim f(x) für x
> gegen [mm]\infty[/mm] = 0
>
Auch richtig!
> zu d) y= -0,18x + 1,21 --> hier bin ich mir unsicher.
> kurzer rechenweg von mir: y -y0 = f'(x0)*(x-x0) mit x0=e^
> [mm]\bruch{1}{2},[/mm] y0 =0,91 und f'(x0)= -0,18
> dann habe ich es halt eingesetzt
Stimmt sicher nicht! Vor allem aber: Exakte Ergebnisse!
Nullstelle: x = [mm] e^{-1} (\approx [/mm] 0,368)
Steigung an dieser Stelle:
[mm] f'(e^{-1}) [/mm] = [mm] e^{2} (\approx [/mm] 7,389)
Gleichung der Tangente: y = [mm] e^{2}*(x [/mm] - [mm] e^{-1}) [/mm] + 0
umgeformt: y = [mm] e^{2}*x [/mm] - e
Bei e) würd ich das Integral zerlegen in
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{ln(x)}{x}dx} [/mm]
und das 2. Integral mit der Substitution u(x) = ln(x) lösen!
mfG!
Zwerglein
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> Bei e) würd ich das Integral zerlegen in
> [mm]\integral{\bruch{1}{x}dx}[/mm] + [mm]\integral{\bruch{ln(x)}{x}dx}[/mm]
> und das 2. Integral mit der Substitution u(x) = ln(x)
> lösen!
hallO!!
ok hab alles korregiert. weiterhin habe ich jetzt substituiert u= lnx --> [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
dann eingesetzt und ich erhalte: [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {1/x *dx} + [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {u *du}
jetzt habe ich resubstituiert und F(x)= lnx + x*(lnx-1) +c
ist das richtig?
mfg
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Hi, declatereter,
> ok hab alles korregiert. weiterhin habe ich jetzt
> substituiert u= lnx --> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> dann eingesetzt und ich erhalte: [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {1/x
> *dx} + [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {u *du}
> jetzt habe ich resubstituiert und F(x)= lnx + x*(lnx-1)
> +c
> ist das richtig?
Eher nicht:
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx} [/mm] = ln(x) + [mm] c_{1} [/mm] für x > 0.
Soweit OK!
Und dann (mit Substitution u=ln(x)):
[mm] \integral{\bruch{ln(x)}{x}dx} [/mm]
= [mm] \integral{u*du} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}u^{2} [/mm] + [mm] c_{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}(ln(x))^{2} [/mm] + [mm] c_{2}
[/mm]
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
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hallo!!
das hatte ich zuerst, aber dann erschien mir meine lösung logischer.
zu f) ich wollte den flächeninhalt mit einem uneigentlichen integral errechnen, aber dann habe ich nach der integration (wo ich dann nur noch die grenzen einsetzen muss):
A=[lnx + 1/2 * (lnx)²] mit a= e^-1 und b = [mm] \infty
[/mm]
A= F( [mm] \infty) [/mm] - F(-0,93)
das problem ist, dass ich logischerweise immer etwas anderes herausbekomme, wenn ich große zahlen für [mm] \infty [/mm] einsetzte... wo ist denn mein denkfehler?
mfg
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Hi, declatereter,
> hallo!!
>
> das hatte ich zuerst, aber dann erschien mir meine lösung
> logischer.
Musst ja nur mal (zur Probe) die erhaltene Stammfunktion F(x) ableiten und mit f(x) vergleichen: Dann siehst Du schon, welches Ergebnis stimmt!
> zu f) ich wollte den flächeninhalt mit einem
> uneigentlichen integral errechnen, aber dann habe ich nach
> der integration (wo ich dann nur noch die grenzen einsetzen
> muss):
> A=[lnx + 1/2 * (lnx)²] mit a= e^-1 und b = [mm]\infty[/mm]
> A= F( [mm]\infty)[/mm] - F(-0,93)
>
> das problem ist, dass ich logischerweise immer etwas
> anderes herausbekomme, wenn ich große zahlen für [mm]\infty[/mm]
> einsetzte... wo ist denn mein denkfehler?
Das eigentliche Problem ist: Die Fläche hat keinen endlichen Wert; der Grenzwert ist [mm] \infty [/mm] !
Das hätte man übrigens sogar ohne langes Rechnen rausfinden können, denn bereits
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}dx} [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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hallo!!
so jetzt hab ich alles für diese aufgabe. danke an alle! :)
mfg
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