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diskreter W-Raum, EX: Korrektur, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Sa 09.01.2021
Autor: TS85

Aufgabe
Sei [mm] (\Omega,P) [/mm] ein diskreter W-Raum, X [mm] \in \mathcal{L}_1(P), [/mm] B [mm] \subseteq \Omega [/mm] mit P(B)>0 und [mm] P(B^C)>0 [/mm] und [mm] Y:\Omega \to [/mm] S eine S-wertige ZV. z.z.:

[mm] i)E(X)=E(X|B)*P(B)+E(X|B^C)*P(B^C) [/mm]

[mm] ii)E(X)=\summe_{b \in Y(\Omega): P(Y=b)>0}E(X|Y=b)*P(Y=b) [/mm]

[mm] i)\summe_{\omega \in \Omega}(P(\{\omega\} |B)P(B)+P(\{\omega\} |B^C)P(B^C))X(\{\omega\}) [/mm]
[mm] =\summe_{\omega \in \Omega}(P(\{\omega\} \cap B)+P(\{\omega\} \cap B^C))X(\{\omega\}) [/mm]
[mm] =\summe_{\omega \in \Omega}P(\{\omega\})X(\{\omega\})=E(X) [/mm]
(in schneller Form aufgeschrieben. Fehlt hier etwas?)


[mm] ii)\summe_{b \in Y(\Omega): P(Y=b)>0}E(X|Y=b)P(Y=b)=\summe_{b \in Y(\Omega): P(Y=b)>0}\summe_{x}x\frac{P(X=x,Y=b)}{P(Y=b)}P(Y=b) [/mm]

Wenn nun stoch. Unabh. gelten würde, könnte man einfach schlussfolgern:

[mm] \underbrace{\summe_{b \in Y(\Omega): P(Y=b)>0}P(Y=b)}_{=1}\underbrace{\summe_{x}xP(X=x)}_{EX}=E(X). [/mm]

Was genau ist hier aber der Beweis bzw. Punkt, dass dies gilt? Alles andere wäre ja nur ein einfaches Umstellen. Vermutlich weil b [mm] \in Y(\Omega) [/mm] und eine S-wertige ZV? Oder ist die erste Umstellung herzuleiten (E(X|Y=b))...)?

Gruß


        
Bezug
diskreter W-Raum, EX: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Sa 09.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]i)\summe_{\omega \in \Omega}(P(\{\omega\} |B)P(B)+P(\{\omega\} |B^C)P(B^C))X(\{\omega\})[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{\omega \in \Omega}(P(\{\omega\} \cap B)+P(\{\omega\} \cap B^C))X(\{\omega\})[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{\omega \in \Omega}P(\{\omega\})X(\{\omega\})=E(X)[/mm]
>  
> (in schneller Form aufgeschrieben. Fehlt hier etwas?)

Kommt drauf an, wie bei euch E[X|B] definiert wurde.
Gilt $E[X|B] = [mm] \summe_{\omega \in \Omega} P(\{\omega\} |B)X(\{\omega\})$, [/mm] passt der Beweis so.

$ [mm] ii)\summe_{b \in Y(\Omega): P(Y=b)>0}E(X|Y=b)P(Y=b)=\summe_{b \in Y(\Omega): P(Y=b)>0}\summe_{x}x\frac{P(X=x,Y=b)}{P(Y=b)}P(Y=b) [/mm] $
Wieso lässt du den nächsten Schritt weg?
Offensichtlich ist ja nun:

$= [mm] \summe_{b \in Y(\Omega): P(Y=b)>0}\summe_{x}xP(X=x,Y=b)$ [/mm]

Begründe nun, wieso du beide Summenzeichen vertauschen kannst, wieso also gilt:

$= [mm] \summe_{x} \summe_{b \in Y(\Omega): P(Y=b)>0}xP(X=x,Y=b)$ [/mm]

Ist dir dann klar, wie es weitergeht?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
diskreter W-Raum, EX: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:57 Sa 09.01.2021
Autor: TS85

Achso, danke für die Info. Jetzt lässt sich x nach vorne Stellen
und [mm] \summe_{...}P(X=x,Y=y)=P(X=x)=P(\{\omega\}), [/mm] da eine Summenbildung über alle b [mm] \in Y(\Omega) [/mm] stattfindet.
Hat dementsprechend nichts mit stoch. Unabh. zu tun. (Hab ich auf die schnelle übersehen, Frage war fast schon etwas redundant..).

Bezug
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