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Hallole,
nach vielem überlegen hab ich doch immer noch nicht verstanden:
wieso ist {1,2} eine diskrete Topologie? Hab ich in N vielleicht immer diskrete Topologien? hängt das irgendwie mit einem T2 Raum zusammen?
grüßle watschelfuss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du kannst die Menge [mm] $\{1,2\}$ [/mm] mit zwei Topologien versehen:
Mit der gröbsten Topologie [mm] $\tau_1 [/mm] = [mm] \{\emptyset, \{1,2\}\}$ [/mm] oder mit der feinsten (diskreten) Topologie [mm] $\tau_2 [/mm] = [mm] \{\emptyset, \{1\}, \{2\},\{1,2\}\}$.
[/mm]
Was du vermutlich meinst: Die von der euklidischen Metrik auf [mm] $\IR$ [/mm] induzierte Topologie auf [mm] $\{1,2\}$ [/mm] ist die diskrete Topologie.
Das ist richtig. Denn es gilt:
[mm] $B_{\frac{1}{2}}(i) \cap \{1,2\} [/mm] = [mm] \{i\}$
[/mm]
für $i=1,2$. Ich finde also offene Bälle um alle Punkte, die geschnitten mit der diskreten Menge nur aus einem Punkt bestehen. Daher sind nach Definition der induzierten Topologie alle Punkte offen, und die Topologie diskret.
Liebe Grüße
Stefan
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