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Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an einem Seminarvortrag mit dem Thema "diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe (DBR)". Dabei bin ich über folgende Fragen gestolpert, die ich weder mit Hilfe von Literatur noch im Internet lösen konnte und hoffe daher auf eure Hilfe!
1. Da ein DBR insbesondere ein Hauptidealring ist, wird das einzige maximale Ideal von einem einzigen Element erzeugt. Ich will zeigen, dass dieses nicht nilpotent sein kann? Hat jemand einen Tipp, wie ich das amchen kann?
2. Sind diskrete Bewertunge immer nicht-archimedisch? Hintergrund dieser Frage: Ich wil lzeigen, dass die diskreten Bewertungen auf Q eine besondere Form haben und das hab ich bisher nur für nicht-archimedische Bewertungen geschafft.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank.
Graf_Zahl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Di 03.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich arbeite gerade an einem Seminarvortrag mit dem Thema
> "diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe (DBR)".
> Dabei bin ich über folgende Fragen gestolpert, die ich
> weder mit Hilfe von Literatur noch im Internet lösen konnte
> und hoffe daher auf eure Hilfe!
> 1. Da ein DBR insbesondere ein Hauptidealring ist, wird
> das einzige maximale Ideal von einem einzigen Element
> erzeugt. Ich will zeigen, dass dieses nicht nilpotent sein
> kann? Hat jemand einen Tipp, wie ich das amchen kann?
Hauptidealringe sind per Definition Integritaetsringe, haben also insbesondere keine nilpotenten Elemente.
> 2. Sind diskrete Bewertunge immer nicht-archimedisch?
Das haengt davon ab, wie genau du diskrete Bewertung definierst. Bei den Definitionen die mir in den Sinn kommen ist dies jedoch der Fall.
> Hintergrund dieser Frage: Ich wil lzeigen, dass die
> diskreten Bewertungen auf Q eine besondere Form haben und
> das hab ich bisher nur für nicht-archimedische Bewertungen
> geschafft.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Graf_Zahl |
Danke schön! 
Ich hab bestimmt demnächst noch mehr Fragen zu meinem Vortrag...
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Hallo!
Ich bin gerade noch über etwas anderes gestolpert. In einen Buch steht: "Ein DBR besitzt genau ein von Null verschiedenes Primideal."
Ich verstehe aber leider nicht warum. Klar: Nach Definition hat ein DBR genau ein maximales Ideal und in einem kommutativen Ring mit 1 (das ist hier vorausgesetzt) ist jedes maximale Ideal auch ein Primideal und zwar nicht das Nullideal. Damit gibt es aucf jeden Fall mindestens ein von Null verschiedenes Primideal.
Aber warum kann es nicht noch mehr Primideale geben?
LG, Graf_Zahl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mi 04.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich bin gerade noch über etwas anderes gestolpert. In
> einen Buch steht: "Ein DBR besitzt genau ein von Null
> verschiedenes Primideal."
> Ich verstehe aber leider nicht warum. Klar: Nach
> Definition hat ein DBR genau ein maximales Ideal und in
> einem kommutativen Ring mit 1 (das ist hier vorausgesetzt)
> ist jedes maximale Ideal auch ein Primideal und zwar nicht
> das Nullideal. Damit gibt es aucf jeden Fall mindestens ein
> von Null verschiedenes Primideal.
> Aber warum kann es nicht noch mehr Primideale geben?
Ein DBR ist ja ein Hauptidealring, und in einem solchen ist jedes Primideal ungleich dem Nullideal bereits maximal. Und da ein DBR auch lokal ist, hat er somit genau zwei Primideale: das maximale Ideal und das Nullideal.
Warum in einem Hauptidealring jedes von Null verschiedene Primideal maximal ist: Ein Primideal $I$ ungleich Null wird von einem Primelement $p$ erzeugt. Wenn es jetzt ein Ideal $M [mm] \supseteq [/mm] I$ gibt, dann wird $M$ von einem Element $q$ erzeugt, und wegen $M [mm] \supseteq [/mm] I$ gilt $q [mm] \mid [/mm] p$. Aber ein Primelement ist unzerlegbar, womit entweder $q$ assoziiert zu $p$ ist (und womit $M = I$ ist) oder womit $q$ eine Einheit ist (und womit $M$ der ganze Ring ist). Sprich, $I$ ist ein maximales Ideal.
LG Felix
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Hallo Felix,
um es nochmal kurz auf den Punkt zu bringen, hast du damit bewiesen, dass die Begriffe "Primideal" und "maximales Ideal" in einem kommutativen Hauptidealring äquivalent sind, richtig?
LG, Graf_Zahl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Di 10.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Graf_Zahl,
> Hallo Felix,
>
> um es nochmal kurz auf den Punkt zu bringen, hast du damit
> bewiesen, dass die Begriffe "Primideal" und "maximales
> Ideal" in einem kommutativen Hauptidealring äquivalent
> sind, richtig?
nicht ganz: ich habe gezeigt, dass die Begriffe ``Primideal ungleich 0'' und ``maximales Ideal'' in einem kommutativen Hauptidealring aequivalent sind. Das ungleich 0 ist hier wichtig :)
LG Felix
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Hallo zusammen.
Hier direkt noch etwas:
Ich habe folgende diskrete Bewertung:
Sei p eine Primzahl und a [mm] \in \IZ [/mm] , a [mm] \not= [/mm] 0. Setze v(a)=max {n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] p^{n} [/mm] teilt a}. Für eine rationale Zahl q=a/b [mm] (\not= [/mm] 0) definiere v(q)=v(a)-v(b).
Ich habe gezeigt, dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung definiert. Aber ich muss noch zeigen, dass die Definition für rationale Zahlen wohldefiniert ist und nich von der Darstellung, also von a und b, abhängt.
Wie kann ich das machen?
LG,
Graf_Zahl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 10.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Hier direkt noch etwas:
> Ich habe folgende diskrete Bewertung:
> Sei p eine Primzahl und a [mm]\in \IZ[/mm] , a [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0. Setze
> v(a)=max {n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]p^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
teilt a}. Für eine rationale
> Zahl q=a/b [mm](\not=[/mm] 0) definiere v(q)=v(a)-v(b).
> Ich habe gezeigt, dass dies tatsächlich eine diskrete
> Bewertung definiert. Aber ich muss noch zeigen, dass die
> Definition für rationale Zahlen wohldefiniert ist und nich
> von der Darstellung, also von a und b, abhängt.
> Wie kann ich das machen?
es reicht dies fuer den Fall $a/b = a'/b'$ zu zeigen mit $a' = [mm] \lambda [/mm] a$, $b' = [mm] \lambda [/mm] b$ fuer ein [mm] $\lambda \in \N_{>0}$. [/mm] Wenn du gezeigt hast, dass $v(x y) = v(x) + v(y)$ fuer ganze Zahlen $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] ist, dann kannst du damit zeigen, dass $v(a/b) = v(a) - v(b)$ gleich $v(a') - v(b') = v(a'/b')$ ist.
LG Felix
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Hi!
D.h: ich kann das eifach so hinschreiben, oder :
v(a'/b')=v(a')-v(b')=v(ca)-v(cb)=v(ca/cb)=v(a/b)
LG und Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Mi 11.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hi!
> D.h: ich kann das eifach so hinschreiben, oder :
> v(a'/b')=v(a')-v(b')=v(ca)-v(cb)=v(ca/cb)=v(a/b)
Genau!
LG Felix
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