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| Aufgabe | K ein Körper, dessen Charakteristik nicht 2 ist. n [mm] \ge [/mm] 2 , V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie
[mm] ML^{2}(V)=SML^{2}(V) \oplus AML^{2}(V) [/mm] |
Einen schönen guten Abend allerseits,
erstmal was zu den Abkürzungen:
;)
ML steht für Linearformen, AML bzw SML für alternierende bzw symmetrische Linearformen.
Ich beiße mir an dieser Aufgabe die Zähne aus. Für eine direkte Summe muss ich zeigen.
i) [mm] SML^{2}(V) \cap AML^{2}(V) [/mm] = (0)
ii) [mm] SML^{2}(V) [/mm] + [mm] AML^{2}(V) [/mm] = [mm] ML^{2}(V)
[/mm]
Hierfür sind wieder jeweils zwei Inklusionen zu zeigen.
i) ist kein Problem, es sind beides Untervektorräume, also ist die Nullabbildung enthalten und weil die Charakteristik von K nicht 2 ist, folgt auch die andere Inklusion schnell.
ii) ist schon eher ein Problem, allerdings auch nur die letzte Richtung. Dass
[mm] SML^{2}(V) [/mm] + [mm] AML^{2}(V) \subset ML^{2}(V) [/mm] ist, gelingt mir noch, aber bei " [mm] \supset" [/mm] verzweifel ich.
Es ist recht naheliegend, dass eine Bilinearform entweder symmetrisch oder alternierend ist, oder beides, wenn es die Nullabbildung ist, aber wie beweise ich das? Ich habe auch schon folgendes versucht:
[mm] \alpha(v_{1},v_{2})=\alpha(v_{1}-v_{2}+v_{2},v_{2}-v_{1}+v_{1}).
[/mm]
Dann habe ich versucht, die Linearität auszunutzen, aber ich bin nie weitergekommen...
Ich wäre für einen Tipp sehr dankbar. Muss ich da irgendwas mit "nahrhafter Null" machen? Ich habe auch schon versucht, eine alternierende Linearform von einer beliebigen Linearform abzuziehen und wieder dranzuhängen und dann nachzuweisen, dass dies eine Summe aus einer alternierenden und einer symmetrischen Linearform ist, aber auch da kam ich nicht weiter...
Viele Grüße
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Alex.
Was hat das Quadrat in [mm] $ML^2(V)$ [/mm] und den anderen beiden Räumen zu bedeuten?
Liebe Grüße,
Hanno
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Guten Abend Alex,
nur eine kleine Idee, aber vielleicht hilft's:
Nimm doch eine Basis von V, zB [mm] e_1,\ldots e_n.
[/mm]
Dann ist fuer beliebiges [mm] \alpha\in ML^2(V) [/mm] doch
[mm] \alpha(\sum_i\lambda_i\cdot e_i,\sum_i\mu_i\cdot e_i) [/mm] =
= [mm] \sum_{i,j} \lambda_i\cdot\mu_j\cdot \alpha (e_i,e_j)
[/mm]
und nun kannst Du die (endlich vielen) Werte [mm] \alpha (e_i,e_j) [/mm] mal unter die Lupe nehmen.
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Di 24.01.2006 | | Autor: | Mathe_Alex |
Einen schönen Guten Abend,
mit deinem Tipp Mathias bin ich leider nicht weitergekommen...
Es geht aber auch anders:
[mm] \alpha_{s}=1/2( \alpha(x,y)+ \alpha(y,x))
[/mm]
und
[mm] \alpha_{a}=1/2( \alpha(x,y)- \alpha(y,x))
[/mm]
Die Indizes stehen jeweils für alternierend und symmetrisch. Wenn man ein bisschen rumrechnet, sieht man dann, dass die Dinger alternierend bzw symmetrisch sind.
Trotzdem danke für eure schnellen Antworten.
P.S. Hanno, [mm] ML^{2}(V) [/mm] bedeutet, dass es multilineare Abb. mit zwei Argumenten sind. Also eine Abbildung von V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] K
Viele Grüße
Alex
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