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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 So 22.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_n\in V-\{0\}$. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] $V=\bigoplus_{i=1}^n\langle v_i\rangle$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] eine Basis von V ist. |
Hi, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Nämlich kommt sie mir viel zu einfach vor...
Zu zeigen ist ja die Äquivalenz, als Hin und Rückrichtung:
Beweis:
[mm] $V=\bigoplus_{i=1}^n\langle v_i\rangle$\Rightarrow $\{v_1,...,v_n\}$
[/mm]
[mm] $V=\bigoplus_{i=1}^n\langle v_i\rangle$, [/mm] dann ist [mm] $\langle v_k\rangle\cap \langle v_j\rangle=\emptyset$ [/mm] für [mm] $k\neq [/mm] j$, nach Definition der direkten Summe und das Erzeugnis somit jeweils linear unabhängig.
Wegen:
[mm] V=$\langle v_1\rangle\oplus\langle v_2\rangle\oplus...\oplus \langle v_n\rangle$
[/mm]
Bildet dies weiterhin ein Erzeugendensystem, womit sich [mm] $\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] bereits als Basis herausstellt.
Das wäre die Hinrichtung. Jetzt noch die Rückrichtung, bloß scheint es mir so, als würde ich bei der Rückrichtung im Grunde wörtlich an die Hinrichtung anknüpfen können.
Verstehe ich hier etwas grundlegendes falsch?
Vielen Dank im voraus.
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> Sei V ein K-Vektorraum und [mm]v_1, ..., v_n\in V-\{0\}[/mm]. Zeigen
> Sie:
>
> [mm]V=\bigoplus_{i=1}^n\langle v_i\rangle[/mm] gilt genau dann, wenn
> [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] eine Basis von V ist.
> Hi, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Nämlich kommt sie mir viel zu einfach vor...
>
> Zu zeigen ist ja die Äquivalenz, als Hin und
> Rückrichtung:
Hallo,
>
> Beweis:
>
> [mm]V=\bigoplus_{i=1}^n\langle v_i\rangle[/mm][mm] \Rightarrow[/mm]
> [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm]
>
> [mm]V=\bigoplus_{i=1}^n\langle v_i\rangle[/mm], dann ist [mm]\langle v_k\rangle\cap \langle v_j\rangle=\emptyset[/mm]
> für [mm]k\neq j[/mm], nach Definition der direkten Summe
Nein. Es ist [mm] \langle v_k\rangle\cap \langle v_j\rangle=\{0\}.
[/mm]
> und das
> Erzeugnis somit jeweils linear unabhängig.
Erstens kenne ich nicht dem Begriff "linear unabhängiges Erzeugnis".
Zweitens: wenn Du damit sagen möchtest, daß für [mm] i\not=k [/mm] die Vektoren [mm] v_i [/mm] und [mm] v_k [/mm] linear unabhängig sind, und daß deshalb [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] linear unabhängig ist, so stimmt diese Folgerung nicht. (Du kannst Dir das im [mm] \IR^2 [/mm] überlegen.)
> Wegen:
>
> V=[mm]\langle v_1\rangle\oplus\langle v_2\rangle\oplus...\oplus \langle v_n\rangle[/mm]
>
> Bildet dies weiterhin ein Erzeugendensystem,
Das stimmt, aber für Deine Chefs müßtest Du diese Behauptung noch begründen.
LG Angela
> womit sich
> [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] bereits als Basis herausstellt.
>
> Das wäre die Hinrichtung. Jetzt noch die Rückrichtung,
> bloß scheint es mir so, als würde ich bei der
> Rückrichtung im Grunde wörtlich an die Hinrichtung
> anknüpfen können.
>
> Verstehe ich hier etwas grundlegendes falsch?
>
> Vielen Dank im voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 22.06.2014 | | Autor: | YuSul |
> Nein. Es ist [mm]\langle v_k\rangle\cap \langle v_j\rangle=\{0\}.[/mm]
Stimmt, da der Nullvektor ja im Erzeugnis beider Vektoren enthalten sein müsste, aber ansonsten gilt für die direkte Summe doch, dass der Schnitt die leere Menge ist.
> Zweitens: wenn Du damit sagen möchtest, daß [...]
> die Vektoren [...] linear unabhängig sind, und daß
> deshalb [mm](v_1,...,v_n)[/mm] linear unabhängig ist, so stimmt
> diese Folgerung nicht.
Ja, das hatte ich eigentlich vor. Hmm ein Beispiel im [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] fällt mir gerade nicht ein.
> > Wegen:
> >
> > V=[mm]\langle v_1\rangle\oplus\langle v_2\rangle\oplus...\oplus \langle v_n\rangle[/mm]
>
> >
> > Bildet dies weiterhin ein Erzeugendensystem,
>
> Das stimmt, aber für Deine Chefs müßtest Du diese
> Behauptung noch begründen.
Und wie könnte ich dies am besten machen?
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> > Zweitens: wenn Du damit sagen möchtest, daß [...]
> > die Vektoren [...] linear unabhängig sind, und daß
> > deshalb [mm](v_1,...,v_n)[/mm] linear unabhängig ist, so stimmt
> > diese Folgerung nicht.
>
> Ja, das hatte ich eigentlich vor. Hmm ein Beispiel im
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm] fällt mir gerade nicht ein.
Hallo,
echt nicht? Das kann doch nicht so schwer sein...
Du suchst drei Vektoren des [mm] \IR^2, [/mm] welche paarweise linear unabhängig sind.
Die drei sind dann aber natürlich nicht linear unabhängig.
>
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>
> > > Wegen:
> > >
> > > V=[mm]\langle v_1\rangle\oplus\langle v_2\rangle\oplus...\oplus \langle v_n\rangle[/mm]
>
> >
> > >
> > > Bildet dies weiterhin ein Erzeugendensystem,
> >
> > Das stimmt, aber für Deine Chefs müßtest Du diese
> > Behauptung noch begründen.
>
> Und wie könnte ich dies am besten machen?
Indem Du die Definition von Erzeugendensystem anschaust und dann nicht nur im Kopf hast, sondern vormachst, daß [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] genau dieser Definition entspricht.
Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] ein Erzeugendensystem von V ist?
LG Angela
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Hallo YuSul,
ich würde als Ergänzung eine etwas strukturellere Sichtweise auf das ganze vermitteln, die dann auch in (äußerlich) ganz anderen Situationen Anwendung findet; ich würde nämlich gern die ![[]](/images/popup.gif) universellen Eigenschaften von direkter Summe und Basis verwenden.
Alternative Definition einer Basis Es sei $V$ ein Vektorraum, $U(V)$ die unterliegende Menge, $B$ eine Teilmenge von $U(V)$ und [mm] $B\xrightarrow{\ \iota\ }U(V)$ [/mm] die Inklusionsabbildung. $B$ heißt Basis von $V$, wenn gilt:
Zu jedem Vektorraum $W$ und jeder Abbildung [mm] $B\xrightarrow{k}U(W)$ [/mm] existiert genau ein Vektorraumhomomorphismus [mm] $V\xrightarrow{f}W$ [/mm] mit [mm] $k=U(f)\circ \iota$.
[/mm]
Alternative Definition der direkten Summe Es sei $V$ ein Vektorraum, [mm] $V_i$ [/mm] seien Unterräume. Für jedes $i$ sei [mm] $V_i\xrightarrow{\iota_i}V$ [/mm] der Inklusionshomomorphismus. $V$ heißt direkte Summe der [mm] $V_i$, [/mm] falls gilt:
Zu jeder Familie [mm] $V_i\xrightarrow{f_i}W$ [/mm] von Homomorphismen existiert genau ein Homomorphsimus [mm] $V\xrightarrow{f}W$ [/mm] mit [mm] $f\circ\iota_i=f_i$ [/mm] für alle $i$.
Beweis der Behauptung Wir schreiben [mm] $B=\{v_i\}$. [/mm] Wir bezeichnen mit [mm] $V_i$ [/mm] das Erzeugnis [mm] $\langle v_i\rangle$. [/mm]
[mm] $"'\implies"'$: [/mm] Sei $B$ eine Basis. Sei [mm] $\langle v_i\rangle\xrightarrow{f_i}W$ [/mm] eine Familie von Homomorphismen. Definiere [mm] $k(v_i)=f_i(v_i)$. [/mm] Dann existiert genau ein Homomorphismus [mm] $V\xrightarrow{f}V$ [/mm] mit [mm] $k(v_i)=U(f)\circ\iota(v_i)$. [/mm] Da jedoch [mm] $k(v_i)=f_i(v_i)$ [/mm] und [mm] $U(f)(\iota_i(v_i))=f\circ\iota_i(v_i)$, [/mm] ist dies genau die Definition der direkten Summe.
[mm] $"'\impliedby"'$ [/mm] Sei $V$ direkte Summe der [mm] $V_i=\langle v_i\rangle$. [/mm] Sei [mm] $B\xrightarrow{k}U(W)$ [/mm] eine Abbildung in die unterliegende Menge von einem Vektorraum $W$. Definiere [mm] $\langle v_i\rangle\xrightarrow{f_i}W$ [/mm] durch [mm] $f_i(v_i)=k(v_i)$ [/mm] (es gibt genau einen solchen Homomorphismus). Dann existiert genau ein Homomorphismus [mm] $V\xrightarrow{f}W$ [/mm] mit [mm] $f\circ\iota_i(v_i)=f_i(v_i)$. [/mm] Wie oben folgt die Äquivalenz zur ersten Definition.
Bemerkungen zum allgemeinen Hintergrund für Interessierte $B$ heißt Basis von $V$, falls $V$ ein freies Objekt über $B$ ist. Das heißt, dass es einen Funktor gibt, welcher $B$ auf $V$ schickt, und der linksadjungiert zum Vergissfunktor $U$ ist, welcher $V$ auf $U(V)$ schickt. Was oben kursiv gedruckt ist, sagt aus, dass [mm] $\langle v_i\rangle$ [/mm] frei über [mm] $\{v_i\}$ [/mm] ist. Dies ist das einzige, was nicht durch allgemeinen Unsinn folgt, ist aber völlig trivial für Vektorräume. Obige Aussage reduziert sich dann darauf, dass Linksadjungierte mit Kolimites (insbesondere Koprodukten) vertauschen und das ist wieder abstrakter Unsinn, der aber auch wieder trivial ist (oben auf zweimal drei Zeilen verpackt). Zum Verständnis ist das hier aber nicht nötig, und ich hoffe, dass der Beweis oben zeigt, dass man mit konzeptionellen Definitionen und Methoden zwar etwas Abstraktion mit ins Spiel bringt, aber die Konzepte damit auch auf das festnagelt, was sie sollen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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