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| Aufgabe | Wie viele Lösungen besitzt die diophantische gleichungen
a) [mm] x_1+x_2+x_3+x_4=10 [/mm] mit [mm] x_1+x_2+x_3+x_4\in\IN\
[/mm]
b) [mm] x_1+x_2+x_3+x_4=10 [/mm] mit [mm] x_1+x_2+x_3+x_4\in\IN_0\ [/mm] |
zu a) habe alle möglichkeiten aufgestellt und es sind 84 Möglichkeiten, nun soll ich es als permutation angeben habe die Lösung 9 über 3 koeffizient vorliegen aber ich verstehe nicht warum 9 und 3.
zu b) hier sind es 286 möglichkeiten weil die null auch betrachtet wird. hier heißt es 13 über 3 oder p(13;10,3) wieso???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Wie viele Lösungen besitzt die diophantische gleichungen
> a) [mm]x_1+x_2+x_3+x_4=10[/mm] mit [mm]x_1+x_2+x_3+x_4\in\IN\[/mm]
> b) [mm]x_1+x_2+x_3+x_4=10[/mm] mit [mm]x_1+x_2+x_3+x_4\in\IN_0\[/mm]
Ich nehme an,
1. Die Menge [mm] $\IN$ [/mm] schließt die Null NICHT ein, sonst wäre das [mm] $\IN_0$ [/mm] in b.) seltsam.
2. Du meinst nicht [mm] $x_1+x_2+x_3+x_4 \in \IN$, [/mm] sondern [mm] $x_1, x_2, x_3, x_4 \in \IN$.
[/mm]
Da in a.) jede Variable mindestens den Wert 1 haben muß, darfst du von der Summe 10 schonmal je 1 auf jede Variable verteilen. Es bleiben 6 Einheiten zum Verteilen übrig. Stell dir also vor, wie du 6 mal hintereinander eine der 4 Variablen auswählst um ihr eine Einheit zu schenken. Das ist gleichbedeutend mit dem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Du ziehst aus n = 4 Variablen insgesamt k=6 mal. Die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten lautet:
${n + k - 1 [mm] \choose [/mm] k}$
> zu a) habe alle möglichkeiten aufgestellt und es sind 84
> Möglichkeiten, nun soll ich es als permutation angeben habe
> die Lösung 9 über 3 koeffizient vorliegen aber ich verstehe
> nicht warum 9 und 3.
aber jetzt sicherlich doch! Bedenke: Es ist ${9 [mm] \choose [/mm] 3} = {9 [mm] \choose [/mm] 6}$
>
> zu b) hier sind es 286 möglichkeiten weil die null auch
> betrachtet wird. hier heißt es 13 über 3 oder p(13;10,3)
> wieso???
Das geht genau so wie a.)
Nur verteilst du hier keine 4 vorab, weil jede Variable auch Null sein darf.
Gruß
Will
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also nochmal zu b)
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10
laut codierung:
da auch die vorkommen kann
OOIIOOOOOIOOO, folgt ein 4+10+1 tupel also 13-tupel aus 10 einheiten und 3 strichen. ( so etwas wurde in der vorlesung erklärt, weiß aber nicht ob es richtig ist, wäre nett wenn man es mir erklären würde wenn ich auf dem holzweg bin!!!!) damit habe ich p(13;10,3)=286
und hier gilt nicht
$ {13 [mm] \choose [/mm] 3} = {13 [mm] \choose [/mm] 6} $
danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> also nochmal zu b)
>
> 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10
> laut codierung:
> da auch die vorkommen kann
> OOIIOOOOOIOOO, folgt ein 4+10+1 tupel also 13-tupel aus 10
> einheiten und 3 strichen. ( so etwas wurde in der vorlesung
> erklärt, weiß aber nicht ob es richtig ist, wäre nett wenn
> man es mir erklären würde wenn ich auf dem holzweg bin!!!!)
nein, du hast vollkommen recht!
Die Anzahl der Möglichkeiten aus diesen 13 Positionen die 10 Positionen für die Einheiten festzulegen ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten aus den 13 Positionen die 3 Positionen für die Striche festzulegen, und das sind beides:
${13 [mm] \choose [/mm] 3} = {13 [mm] \choose [/mm] 10} = 286$
> danke schonmal
Bitte!
Will
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Aber wie sieht es aus wenn ich zum Beispiel 5 verschiedene Bücher auf 3 Schüler verteilen muss, wenn keiner leer ausgehen soll?
MEIN ANSATZ:
OIOOOIO, folgt doch daraus 5+3-1=7-tupel da jedes kind ein buch bekommen soll habe ich noch 2 bücher die ich noch verteilen muss. damit habe ich doch
p(7;2,2)=1260 und die Lösung soll 150 sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Aber wie sieht es aus wenn ich zum Beispiel 5 verschiedene
> Bücher auf 3 Schüler verteilen muss, wenn keiner leer
> ausgehen soll?
Das Wort "verschiedene" macht den Unterschied:
Wären es gleiche Bücher, dann dürftest du 3 vorab verteilen und müßtest nur noch k=2 mal aus n=3 Schülern ziehen. also hätten wir insgesamt nur ${4 [mm] \choose [/mm] 2} = 6$ Möglichkeiten. Sind die Bücher verschieden, müssen wir diese 6 Möglichkeiten erstmal aufzählen:
1.) 3 + 1 +1 - hier gibts 5! / 3! individuelle Verteilungen = 20
2.) 1 + 3 + 1 - hier gibts 5! / 3! individuelle Verteilungen = 20
3.) 1 + 1 + 3 - hier gibts 5! / 3! individuelle Verteilungen = 20
4.) 2 + 2 + 1 - hier gibts 5! / (2! * 2!) individuelle Verteilungen = 30
5.) 2 + 1 + 2 - hier gibts 5! / (2! * 2!) individuelle Verteilungen = 30
6.) 1 + 2 + 2 - hier gibts 5! / (2! * 2!) individuelle Verteilungen = 30
Das sind insgesamt tatsächlich 150 individuelle Verteilungen bei unterschiedlichen Büchern.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Di 06.11.2007 | | Autor: | sakarsakir |
vielen dank für die unterstützung!!!!!!
gruß
sakarsakir
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