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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Sei X eine n-elementige Menge. Zeige [mm] dim(F(X,\IK))=n [/mm] |
Die Abbildung [mm] F(X,\IK) [/mm] kann doch in einer matrix beschrieben werden.
Sei B eine Basis von X und C eine Basis von [mm] \IK
[/mm]
[mm] [f]_{CB} [/mm]
Die ist eine 1 x n Matrix
nach Skript ist die dim( [mm] [f]_{CB} [/mm] ) = 1 * n = n
Stimmt das=?
Wie macht man es richtig?
LG,
quasimo
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moin,
> Sei X eine n-elementige Menge. Zeige [mm]dim(F(X,\IK))=n[/mm]
> Die Abbildung [mm]F(X,\IK)[/mm] kann doch in einer matrix
> beschrieben werden.
Vorsicht!
$F(X,K)$ ist nicht eine Abbildung sondern eine Menge von Abbildungen (ist $K$ unendlich dann ist $F(X,K)$ sogar unendlich!).
Du kannst also nicht einfach eine Abbildungsmatrix aufstellen.
> Sei B eine Basis von X und C eine Basis von [mm]\IK[/mm]
Hmm, ich glaub du hast hier die Begriffe ein wenig durcheinander gebracht.
$X$ ist eine beliebige Menge, also insbesondere (im Allgemeinen) kein Vektorraum, kann also auch keine Basis haben.
Der hier betrachtete Vektorraum ist $F(X,K) := [mm] \{f: X \to K \mid \mbox{f Abbildung} \}$.
[/mm]
> [mm][f]_{CB}[/mm]
> Die ist eine 1 x n Matrix
> nach Skript ist die dim( [mm][f]_{CB}[/mm] ) = 1 * n = n
Die Dimension einer Abbildung kann man auch nicht wirklich definieren, da eine einzelne Abbildung wieder kein Vektorraum ist.
> Stimmt das=?
> Wie macht man es richtig?
>
> LG,
> quasimo
>
Du hast hier scheinbar noch einige Probleme mit den Begriffen.
Mach dir am besten erstmal klar, worum es hier geht, was $F(X,K)$ ist, etc.
Als Beispiel könnte dir etwa helfen: $K = [mm] \IR$, $X_1 [/mm] = [mm] \{ 1\}$, $X_2 [/mm] = [mm] \{1,2\}$.
[/mm]
Sowohl [mm] $F(X_1,K)$ [/mm] als auch [mm] $F(X_2,K)$ [/mm] sind hier unendlich.
Versuch als erstes zu zeigen, dass dies $K-$Vektorräume sind, indem du die Axiome nachweist.
Dann kannst du versuchen in diesen Beispielen eine Basis zu bestimmen, das dürfte für das Verständnis sehr helfen.
Wenn du in beiden Beispielen eine schöne Basis gefunden hast ist es kein so großes Problem mehr, das auf den Fall, dass $X$ genau $n$ Elemente besitzt, zu erweitern.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Danke für den beitrag.
F(X, [mm] \IK) [/mm] ist ein [mm] \IK- [/mm] Vektorräume mittels der Operationen
(f + g)(x) = f(x) + g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X (punktweise)
[mm] (\lambda [/mm] f)(x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Die Vektorraum-axiome haben wir in den Übungen besprochen. DIese sind klar.
> Sowohl $ [mm] F(X_1,K) [/mm] $ als auch $ [mm] F(X_2,K) [/mm] $ sind hier unendlich.
Wie soll ich dann eine Basis finden??
Das verstehe ich nicht.
LG,
quasimo
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Nehmen wir mal wie im anderen Tread die [mm] $e_{x_i}$.
[/mm]
Ist also im ersten Fall $X = [mm] \{ 1 \}$ [/mm] dann überleg dir mal, wieso [mm] $\{ e_1 \}$ [/mm] eine Basis von [mm] $F(X_1,K)$ [/mm] ist.
Wenn du dir das klar gemacht hast dann überleg dir mal wieso [mm] $\{e_1, e_2\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $F(X_2,K)$ [/mm] ist.
Wenn das auch klar ist solltest du es für jede endliche Menge $X$ verallgemeinern können - aber vorsicht: auf unendliche $X$ lässt sich das nicht erweitern!
lg
Schadow
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
ehrlich gesagt kann ich deine Fragen nicht beantworten.
Ich hab es nochmals mit Hilfe des vorigen Beispiels versucht.
Für x [mm] \in [/mm] X , [mm] g_x [/mm] : X-> [mm] \IK, g_x [/mm] (y)= [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x=y \\ 0, & \mbox{für } x \neq y \end{cases}
[/mm]
Dann ist für paarweise verschiedene Elemente [mm] x_1, [/mm] . . . , [mm] x_n [/mm] aus X
das System [mm] \{g_{x_1} , . . . , g_{x_n} \} [/mm] nach meinen anderen Thread linear unabhängig. ( https://matheraum.de/read?t=908843)
Nun muss ich noch zeigen, dass das System auch Erzeugendensystem von F(X, [mm] \IK) [/mm] ist.
Sei f [mm] \in [/mm] F(X, [mm] \IK)
[/mm]
dann ist f darstellbar als : f= f(x) * [mm] g_{x_1} [/mm] (y) + ... + [mm] f(x)*g_{x_n}(y)
[/mm]
wobei ja nur der Summand für x=j übrigbleibt, der 1 ist.
UND?
LG,
quasimo
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> Hallo,
> ehrlich gesagt kann ich deine Fragen nicht beantworten.
> Ich hab es nochmals mit Hilfe des vorigen Beispiels
> versucht.
>
> Für x [mm]\in[/mm] X , [mm]g_x[/mm] : X-> [mm]\IK, g_x[/mm] (y)= [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=y \\ 0, & \mbox{für } x \neq y \end{cases}[/mm]
>
> Dann ist für paarweise verschiedene Elemente [mm]x_1,[/mm] . . . ,
> [mm]x_n[/mm] aus X
> das System [mm]\{g_{x_1} , . . . , g_{x_n} \}[/mm] nach meinen
> anderen Thread linear unabhängig. (
> https://matheraum.de/read?t=908843)
>
> Nun muss ich noch zeigen, dass das System auch
> Erzeugendensystem von F(X, [mm]\IK)[/mm] ist.
> Sei f [mm]\in[/mm] F(X, [mm]\IK)[/mm]
> dann ist f darstellbar als : f= f(x) * [mm]g_{x_1}[/mm] (y) + ... +
> [mm]f(x)*g_{x_n}(y)[/mm]
> wobei ja nur der Summand für x=j übrigbleibt, der 1
> ist.
Ne, nicht ganz.
Du hast jetzt hier links die Funktion $f$ stehen, rechts Funktionswerte.
Es gilt:
$f = [mm] f(x_1)*g_{x_1} [/mm] + [mm] f(x_2)*g_{x_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f(x_n)*g_{x_n}$.
[/mm]
Da die [mm] $f(x_i)$ [/mm] Elemente aus $K$ sind, ist $f$ damit wirklich eine Linearkombination der [mm] $g_{x_i}$ [/mm] und damit bilden die [mm] $g_{x_i}$ [/mm] ein Erzeugendensystem.
Allerdings klappt das ganze nur wenn $X$ endlich ist.
> UND?
Und das wolltest du doch zeigen; dass es ein Erzeugendensystem ist.
> LG,
> quasimo
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
danke für die Antwort.
Nun verstehe ich aber leider das nicht mehr.
> $ f = [mm] f(x_1)\cdot{}g_{x_1} [/mm] + [mm] f(x_2)\cdot{}g_{x_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f(x_n)\cdot{}g_{x_n} [/mm] $.
Hier werten wir auf der rechten Seite f auch jedesmal aus an einen [mm] x_i [/mm] Wert.
Und wieso kommt nun an der rechten seite des termes f an der ausgewerteten Stelle heraus?
> Allerdings klappt das ganze nur wenn $ X $ endlich ist.
kann man das nicht so definieren, wie wir es für die lineare unabhängigkeit von unendlich vielen Elementen getan haben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
danke für die Antwort.
Nun verstehe ich aber leider das nicht mehr.
> $ f = [mm] f(x_1)\cdot{}g_{x_1} [/mm] + [mm] f(x_2)\cdot{}g_{x_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f(x_n)\cdot{}g_{x_n} [/mm] $.
Hier werten wir auf der rechten Seite f auch jedesmal aus an einen $ [mm] x_i [/mm] $ Wert.
Und wieso kommt nun an der rechten seite des termes f an der ausgewerteten Stelle heraus?
> Allerdings klappt das ganze nur wenn X endlich ist.
kann man das nicht so definieren, wie wir es für die lineare unabhängigkeit von unendlich vielen Elementen getan haben?
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> Hallo,
> danke für die Antwort.
> Nun verstehe ich aber leider das nicht mehr.
>
> > [mm]f = f(x_1)\cdot{}g_{x_1} + f(x_2)\cdot{}g_{x_2} + \ldots + f(x_n)\cdot{}g_{x_n} [/mm].
>
> Hier werten wir auf der rechten Seite f auch jedesmal aus
> an einen [mm]x_i[/mm] Wert.
Hallo,
die Behauptung ist: wir konnen f als Linearkombination der [mm] g_{x_i} [/mm] schreiben.
Die [mm] f(x_1), f(x_2) [/mm] usw. sind die vom schadowmaster bereits ermittelten Linearfaktoren. Da oben wird bisher nicht ie Funktion ausgewertet!
Das Auswerten der Funktion solltest Du jetzt aber mal in die Hand nehmen, dann verstehst Du nämlich auch, warum die angegebene Linearkombination funktioniert!
Berechne nun also mal
[mm] f(x_1)=[$f(x_1)\cdot{}g_{x_1} [/mm] + [mm] f(x_2)\cdot{}g_{x_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f(x_n)\cdot{}g_{x_n}](x_1)=...=... [/mm] $,
[mm] f(x_2)=...
[/mm]
[mm] \vdots.
[/mm]
LG Angela
> Und wieso kommt nun an der rechten seite des termes f an
> der ausgewerteten Stelle heraus?
>
> > Allerdings klappt das ganze nur wenn X endlich ist.
>
> kann man das nicht so definieren, wie wir es für die
> lineare unabhängigkeit von unendlich vielen Elementen
> getan haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo
> die $ [mm] f(x_1), f(x_2) [/mm] $ usw. sind die vom schadowmaster bereits ermittelten Linearfaktoren.
Das brachte nun die ERleuchtung und die Auswertung war dann auch klar.
Vielen lieben Dank euch beiden,
LG,
quasimo
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