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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:25 Di 26.05.2009 | | Autor: | Foster |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt
dim ( { (3-x,-1,0), (-1,2-x,-1), (0,-1, 3-x) } ) = 2
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Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt
dim ( { (3-x,-1,0), (-1,2-x,-1), (0,-1, 3-x) } ) = 2
Muß ich um herauszufinden für welche x das gilt die Determinante ausrechnen?
[mm] \pmat{ 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 2-x & -1 \\ 0 & -1 & 3-x }
[/mm]
die ersten beiden Spalten setze ich hinten dran und rechne die Determinante aus.
(3-x ) * (2-x) *(3-x) + (-1) * (-1) * 0 + 0 * (-1) * (-1) - 0 * (2-x) * 0 - (-1) * (-1) * (3-x) - (3-x) * (-1) * (-1) = 2
Dann bekomme ich für x drei Werte heraus.
Ist mein Ansatz richtig?
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> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt
> dim ( { (3-x,-1,0), (-1,2-x,-1), (0,-1, 3-x) } ) = 2
>
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt
> dim ( { (3-x,-1,0), (-1,2-x,-1), (0,-1, 3-x) } ) = 2
>
> Muß ich um herauszufinden für welche x das gilt die
> Determinante ausrechnen?
>
> [mm]\pmat{ 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 2-x & -1 \\ 0 & -1 & 3-x }[/mm]
>
> die ersten beiden Spalten setze ich hinten dran und rechne
> die Determinante aus.
>
> (3-x ) * (2-x) *(3-x) + (-1) * (-1) * 0 + 0 * (-1) * (-1) -
> 0 * (2-x) * 0 - (-1) * (-1) * (3-x) - (3-x) * (-1) * (-1) =
> 2
>
> Dann bekomme ich für x drei Werte heraus.
>
> Ist mein Ansatz richtig?
Hallo,
nicht ganz.
Das =2-Setzen der Determinante ist verkehrt.
Mithilfe der Determinante kannst Du herausfinden, für welche x die matrix nicht invertierbar ist, für welche x sie also einen von 3 verschiedenen Rang hat.
Für diese x ist nämlich det=0.
Das bzw, die errechnenten x kannst Du dann nehmen, in die Matrix einsetzen und für diese den Rang berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Foster |
Das habe ich verstanden und bekomme vernünftige Lösungen heraus.
Aber was mache ich denn wenn ich
Es sei U = {(a,b,a+b,a-b) | a,b [mm] \in \IR [/mm] }
a) Zeigen Sie : dim (U) = 2
b) Erweitern Sie die MEngen {(2,1,3,1)} zu einer Basis U.
zu a) wie kann ich denn hier den Rang bestimmen? Ich habe doch lediglich nur den einen Vektor.
zu b) [mm] \pmat{ a & b & a+b & a-b \\ 2 & 1 & 3 & 1} [/mm]
wie gehe ich dann weiter vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Fr 29.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht nur einen Vektor, da ja [mm] a,b\in \IR [/mm] also etwa a=1 [mm] b=\pi [/mm] usw.
der Vektor (1,0,1,1) iat einer von U (0,1,1,-1) auch das sind schon mal 2 lin unabh.
der Vektor (2,2,3,1) liegt auch in U
Du hast wohl was missverstanden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Foster |
Stimmt...ich habe wohl die Aufgabenstellung falsch verstanden.
Kann ich nun um zu beweisen das dim (U) = 2 ist, einfach für a und b mehrere Werte nehmen (jeweils 3 verschiedene) und damit nachweisen, das die Aussage stimmt?
Kann man das so beweisen? ... weil es ja eigentlich nur beispiele sind.
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> > Es sei U = [mm] \{(a,b,a+b,a-b) | a,b \in \IR \}
[/mm]
> > a) Zeigen Sie : dim (U) = 2
> Kann ich nun um zu beweisen das dim (U) = 2 ist, einfach
> für a und b mehrere Werte nehmen (jeweils 3 verschiedene)
> und damit nachweisen, das die Aussage stimmt?
> Kann man das so beweisen? ... weil es ja eigentlich nur
> beispiele sind.
Hallo,
nein, so geht das nicht.
Wir wissen, daß in U nur Vektoren dieser Machart sind [mm] \vektor{a\\b\\a+b\\a-b}. [/mm] (Schreib die ruhig als Spalten, aich wenn's eetwas mühsamer ist. Es ist übersichtlicher.)
Was ist die Dimension eines Vektorraumes? Die Anzahl der Elemente seiner Basis.
Damit steht der Plan: wir bestimmen eine Basis von U.
Was ist ein Basis? Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Oben hatte wir festgestellt, daß man jedes [mm] x\in [/mm] U schreiben kann als [mm] x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}.
[/mm]
Dies dröseln wir jetzt so auf, daß man ein Erzeugendensystem von U sieht:
[mm] x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}=a*\vektor{...\\...\\...\\...} [/mm] + [mm] b*\vektor{...\\...\\...\\...}.
[/mm]
Mal schauen, was Du damit tust.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Foster |
Ich habe keine Ahnung wie ich weiter vorgehe.
Es ist mir klar was ich machen muß, wenn ich z.b. wie in der Aufgabe http://www.matheforum.net/read?t=520178 Vektoren geben habe, was ich machen muß.
Tue mich total schwer damit...... und kann es mir nicht vorstellen.
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> Ich habe keine Ahnung wie ich weiter vorgehe.
Hallo,
hast Du denn den Lückentext ausgefüllt?
Falls nicht, noch ein Zwischenschritt:
$ [mm] x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}=\vektor{a\\0\\a\\a}+\vektor{0\\b\\b\\-b}=a\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...} [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...}. [/mm] $
Diese Darstellung der Vektoren, die in U sind, brauchen wir. Danach kann man weiterreden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Foster |
$ [mm] x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}=\vektor{a\\0\\a\\a}+\vektor{0\\b\\b\\-b}=a\cdot{}\vektor{1\\0\\1\\1} [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}\vektor{0\\1\\1\\-1}. [/mm] $
und nun???
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> [mm]x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}=\vektor{a\\0\\a\\a}+\vektor{0\\b\\b\\-b}=a\cdot{}\vektor{1\\0\\1\\1}[/mm]
> + [mm]b\cdot{}\vektor{0\\1\\1\\-1}.[/mm]
>
> und nun???
Nun freust Du Dich, denn Du weißt, mit welchen beiden Vektoren Du jeden Vektor der in U ist, als Linearkombination darstellen, also erzeugen, kannst.
Du hast also ein ... gefunden.
Wenn Du jetzt noch glaubhaft machen kannst, daß die beiden zusätzlich linear unabhängig sind, hast Du eine ... von U gefunden, und damit kennst Du die Dimension.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Foster |
Aha .....wa ja garnicht so schwer.....
wenn ich nun
1a + 0 | 0
0 + 1b | 0
1a +1b| 0
1a +1b|0 setze und das mit dem Gaußverfahren berechne bekomme ich
1a - 1b | 0
0 - 2b | 0
0 0 | 0
0 0 | 0 und somit für b = 0 und a = 0 heraus. => linear unabhängig
und gleichzeitig rang = 2 heraus.
Ist das so richitg?
Was mache ich nun, wenn ich die Menge um (2,1,3,1) erweitern soll?
Habe ich dann
x = [mm] \vektor{a + 2 \\ b +1 \\ a-b+3 \\ a-b +1} [/mm] ?
Das kann ich dann wieder auseinander dröseln in
[mm] \vektor{a \\ 0 \\ a \\ a} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ b \\ b \\ -b} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
.... dann ebenfalls wieder die lineare unabhängigkeit rpüfen in dem ich
1a + 0 + 2| 0
0 + 1b +1 | 0
1a +1b+ 3| 0
1a +1b +1|0
Stimmt das soweit?
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> Aha .....wa ja garnicht so schwer.....
>
> wenn ich nun
>
> 1a + 0 | 0
> 0 + 1b | 0
> 1a +1b| 0
> 1a +1b|0 setze und das mit dem Gaußverfahren berechne
> bekomme ich
>
> 1a - 1b | 0
> 0 - 2b | 0
> 0 0 | 0
> 0 0 | 0 und somit für b = 0 und a = 0 heraus.
> => linear unabhängig
Hallo,
Dein Gaußverfahren sieht zwar etwas skurril aus, aber das Ergebnis ist richtig.
Normalerweise würde man hier die beiden Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\-1}. [/mm] $ in eine matrix schreiben und diese auf ZSF bringen. (hier sieht man ja sowieso gleich, daß sie l.u. sind.)
> und gleichzeitig rang = 2 heraus.
> Ist das so richitg?
Ja. Der Rang der Matrix ist 2, also der aufgespannte Raum die Dimension 2.
Nochmal in aller Deutlichkeit, weil ich mir nicht sicher bin, ob es Dir richtig klar ist:
die beiden Basisvektoren sind [mm] \vektor{1\\0\\1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\-1}. [/mm] Nix mit a und b drin!
Und aus diesen beiden Vektoren kannst Du sämtlcihe Elemente basteln, die in U enthalten sind.
>
> Was mache ich nun, wenn ich die Menge um (2,1,3,1)
> erweitern soll?
(Das ist aber nicht die Aufgabenstellung, die Du gepostet hattest!)
Dann hast Du drei Vektoren, [mm] \vektor{1\\0\\1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\-1} [/mm] und den Erweiterungsvektor, stellst fest, welchen Rang die Matrix, die die drei Vektoren in den Spalten hat, hat und kennst die Dimension des aufgespannten Raumes
Gefragt war allerdings etwas anderes: Du solslt eine Basis von U finden, deren eines Element der Vektor [mm] \vektor{2\\1\\3\\1} [/mm] ist.
Für die Vorgehensweis hier gibt es verschiedene Möglichkeiten:
1. experimentell: Du probierst einfach solange, bis Du einen Vektor aus U gefunden hast, so daß die beiden linear unabhängig sind. Ich denke, daß Du schnell fündig wirst.
2. Du denkst in Richtung Basisergänzugs/-austauschsatz.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Foster |
Vielen dank für die Hilfe..... werde mich morgen weiter damit befassen.
Gruß Foster  )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 31.05.2009 | | Autor: | Foster |
Stimmt es, wenn ich für a = 2 und für b = 1 nehme, die Basis von U der Vektor $ [mm] \vektor{2\\1\\3\\1} [/mm] $ ist?
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> Stimmt es, wenn ich für a = 2 und für b = 1 nehme, die
> Basis von U der Vektor [mm]\vektor{2\\1\\3\\1}[/mm] ist?
Hallo,
nein.
Hier scheint mir einiges durcheinanderzugehen, bloß weiß ich noch nicht genau, was alles.
Es war U:= [mm] \{(a,b,a+b,a-b) | a,b \in \IR \}, [/mm] U enthält also sämtliche Vektoren der Machart [mm] \vektor{a\\b\\a+b\\a-b}, [/mm] und Du hattest festgestellt, daß [mm] \vektor{1\\0\\1\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\-1} [/mm] zusammen eine Basis dieses raumes bilden. Dieser Raum hat also die Dimension 2, dh. jede Basis von U enthält zwei Elemente.
> Stimmt es, wenn ich für a = 2 und für b = 1 nehme, die
> Basis von U der Vektor [mm]\vektor{2\\1\\3\\1}[/mm] ist?
Diese Formulierung "wenn ich für a=2 und für b=3 nehme, ist die Basis von U" paßt einfach überhaupt gar nicht zur Situation.
Richtig ist, daß, da Du ja a=2 und b=1 wählen kannst, der Vektor [mm] \vektor{2\\1\\3\\1} [/mm] ein Element von U ist, und da er von Null verschieden ist, kannst Du ihn, wenn Du Lust hast oder dies tun sollst, als einen der Basisvektoren nehmen.
Um zu einer Basis zu kommen, benötigst Du einen weiteren Vektor aus U, so daß die beiden linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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