differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich soll zeigen, dass die Funktion [mm] R^n [/mm] \ {0}, f(x) = |x| beliebig oft partiell differenzierbar ist.
Wie fange ich da an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib den Betrag als summe hin. dann ist es ja fuer jedes beliebige [mm] x_i [/mm] nur noch reelle differenzierbarkeit. da wendest du an, was du aus der Analysis in R kennst.
Gruss leduart
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Als Summe? Meinst du das:
[mm] f(n)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0\end{cases}
[/mm]
Ich find gerade nichts anderes.
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Hallo lilalaunebaeri,
> Als Summe? Meinst du das:
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> [mm]f(n)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0\end{cases}[/mm]
Nein, das $x$ ist doch ein Vektor im [mm] $\IR^n$, [/mm] also [mm] $x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$
[/mm]
Und mit $|x|$ ist sicher eine Norm $||x||$ gemeint, suche dir eine aus, etwa die euklidische Norm [mm] $||x||_2$ [/mm] ...
>
> Ich find gerade nichts anderes.
LG
schachuzipus
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> Hallo lilalaunebaeri,
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> > Als Summe? Meinst du das:
> >
> > [mm]f(n)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0\end{cases}[/mm]
>
> Nein, das [mm]x[/mm] ist doch ein Vektor im [mm]\IR^n[/mm], also
> [mm]x=(x_1,x_2,...,x_n)^T[/mm]
Achso.
Meint ihr mit Summe [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{x} x^2_i} [/mm] ?
>
> Und mit [mm]|x|[/mm] ist sicher eine Norm [mm]||x||[/mm] gemeint, suche dir
> eine aus, etwa die euklidische Norm [mm]||x||_2[/mm] ...
>
> >
> > Ich find gerade nichts anderes.
>
> LG
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
>
> Achso.
> Meint ihr mit Summe [mm] $\wurzel{\summe_{i=1}^{\red{n}} x^2_i}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ?
Ja!
LG
schachuzipus
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Und nun soll ich die Differenzierbarkeit ganz normal damit zeigen, dass der Grenzwert links und rechts gegen 0 existiert mit [mm] \bruch{f(x_0 - h) - f(x_0)}{h}
[/mm]
Kann man das machen? Wie bring ich da die Summe mit ein?
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Hallo nochmal,
> Und nun soll ich die Differenzierbarkeit ganz normal damit
> zeigen, dass der Grenzwert links und rechts gegen 0
> existiert mit [mm]\bruch{f(x_0 - h) - f(x_0)}{h}[/mm]
>
> Kann man das machen? Wie bring ich da die Summe mit ein?
Nein, du sollst zeigen, dass die Funktion auf [mm] $\IR^n\setminus\{\vec{0}\}$ [/mm] (beliebig oft) partiell diffbar ist.
Berechne doch einfach mal eine partielle Ableitung [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x})$
[/mm]
Das kannst du nach der 1-dim. Kettenregel machen, alle anderen Variablen [mm] $x_j$ [/mm] für [mm] $j\neq [/mm] i$ sind dabei wie Konstante zu behandeln.
Vllt. ist es klarer, wenn du mal die Funktion etwas ausschreibst:
[mm] $f(\vec{x})=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2}$
[/mm]
Rechne mal [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec{x})$ [/mm] aus, dann siehst du wie's fluppt
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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Wenn ich den Betrag für i=3 nehme, dann hätte ich ja [mm] f(\overrightarrow{x})=(x^2_1+x^2_2+x^2_3)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Und wenn du sagst, dass man das ganz normal nach Kettenregel ableitet, dann würde doch einfach [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (x^2_1+x^2_2+x^2_3)^{-\bruch{1}{2}}*(2x_1+2x_2+3x_3) [/mm] rauskommen.
Und das auf die richtige Funktion angewendet wäre dann
[mm] f'(\overrightarrow{x})= \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\summe_{i=1}^{n} x^2_i)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] (\summe_{i=1}^{n} 2x_i)
[/mm]
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Hallo lilalaunebaeri,
> Wenn ich den Betrag für i=3 nehme, dann hätte ich ja
> [mm]f(\overrightarrow{x})=(x^2_1+x^2_2+x^2_3)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Nein, n ist beliebig, aber fest vorgegeben.
Du kannst n partielle Ableitung bilden, nach jeder der Variablen [mm] $x_1,x_2,....,x_n$
[/mm]
Mit [mm] $f(\vec{x})=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+....+x_n^2}$ [/mm] ist doch mittels Kettenregel
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec{x})=\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+....+x_n^2}}\cdot{}2x_1=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+....+x_n^2}}=\frac{x_1}{f(\vec{x})}$
[/mm]
Genauso für alle anderen Variablen, dh. [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x})=\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+....+x_n^2}}=\frac{x_i}{f(\vec{x})}$ [/mm] für $i=1,2,...,n$ und [mm] $\vec{x}\neq\vec{0}$
[/mm]
>
> Und wenn du sagst, dass man das ganz normal nach
> Kettenregel ableitet, dann würde doch einfach [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> * [mm](x^2_1+x^2_2+x^2_3)^{-\bruch{1}{2}}*(2x_1+2x_2+3x_3)[/mm]
> rauskommen.
>
> Und das auf die richtige Funktion angewendet wäre dann
>
> [mm]f'(\overrightarrow{x})= \bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\summe_{i=1}^{n} x^2_i)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> * [mm](\summe_{i=1}^{n} 2x_i)[/mm]
>
LG
schachuzipus
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Ah, damit kann man schon mal mehr als mit meiner Ableitung anfangen. Man hat ja nun die Ausgangsfunktion wieder mit drin, also wäre ja damit schon gezeigt, dass es immer wieder differenzierbar ist, oder?
In Aufgabe soll ich nun Nabla f bilden und auch Nabla * Nabla f, was ja bedeutet, dass ich nach [mm] x_1, x_2...x_i [/mm] ableiten soll, wenn ich das richtig verstanden habe. Aber das würde in der ersten Ableitung ja nur ändern, dass ich im Zähler [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] stehen habe, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 07.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum machst du nicht einfach mal das was verlangt ist.
[mm] \nabla [/mm] f(x) ist ein Vektor, schreib ihn einfach hin.
dann [mm] \nabla*\nabla [/mm] f(x) das ist wieder ein Skalar.
und nein, da du bei [mm] \nabla [/mm] f(x) einen Vektor hast steht nicht die Summe im Zaehler.
Du solltest was mehr selbstvertrauen haben und deine Ergebnisse posten, dabei jeweils nochmal die Def von dem was du ausrechnen sollst nachsehen.
Es ist anfangs wirklich wichtig, sich Definitionen immer wieder zurueckzurufen, schlimmstenfalls 20 mal nachzusehen, dann hat man sie bald "verinnerlicht"
gruss leduart
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Gut, ich werde versuchen mich zu bessern.
Dann schreib ich erstmal meine bisherigen Lösungen auf:
[mm] \nabla [/mm] f = [mm] \bruch{x_i}{f(x)}
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] * [mm] \nabla [/mm] f = - [mm] \bruch{x_i}{f(x)^3} [/mm] + [mm] {\delta_{i,j}} \bruch{1}{f(x)}
[/mm]
So, erstmal hab ich eine allgemeine Frage: Warum muss man hier noch zeigen, dass sie beliebig oft differenzierbar ist? Sind das nicht alle analytischen Funktionen?
Dann meine nächste Frage: Ist mit dem mehrfachen Auftreten der ursprünglichen Funktion in den Ableitungen nicht schon gezeigt, dass sie beliebig oft differenzierbar ist? Oder muss ich das per Induktion oder Ähnliches zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Sa 09.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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