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| Aufgabe | Untersuchen Sie, in welchen Punkten x [mm] \in \IR [/mm] die folgenden Funktionen stetig bzw. differenzierbar
(b) f : [mm] \IR \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel[k]{x^{2} +1}
[/mm]
Dabei sei k [mm] \ge [/mm] 2 eine fest gew¨ahlte nat¨urliche Zahl.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also ich komme hier nicht weiter:
ich vermute ,die funktion sei differenzierbar und zwar überall.dann muss gelten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] (f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] ) / ((x - [mm] x_{0}) [/mm] ) existiert.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] ( [mm] \wurzel[k]{x^{2} +1} [/mm] - [mm] \wurzel[k]{x_{0}^{2} +1} [/mm] ) / (x - [mm] x_{0})
[/mm]
jetzt weiss ich nicht weiter , vielleicht muss man abschätzen ,aber das
ist ja immer das fummeligste.ich sitze gerade dran und hoffe jemand kann
mir einen anstoss geben.
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Darfst du noch keine Ableitungsregeln verwenden? Denn dann ist doch klar, daß die Funktion differenzierbar und damit auch stetig ist. Die Begründung ist relativ einfach:
1. Die ganzrationale Funktion [mm]x \mapsto x^2 + 1[/mm] ist überall differenzierbar.
2. Die Funktion [mm]t \mapsto \sqrt[k]{t}[/mm] ist für alle [mm]t>0[/mm] differenzierbar.
Da die Funktion in 1. nur Werte größer gleich 1 liefert, Differenzierbarkeit aber beim Verketten erhalten bleibt, ist auch die Verkettung [mm]x \mapsto t = x^2 + 1 \mapsto \sqrt[k]{t} = \sqrt[k]{x^2 + 1}[/mm] differenzierbar.
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nee ,das ist schon klar, die differenzierbarkeit muss explizit gezeigt werden(existenz limes...).das mit der ableitung reicht nicht,wer sagt dir ,ob sie vielleicht irgendwo doch nicht diffbar ist?
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Welche Lösung akzeptiert wird, hängt natürlich ganz von den Regeln ab, die bereits bewiesen sind.
Es kann ja sein, daß ihr das direkt mit dem Differenzenquotienten machen müßt. Falls ihr aber die Summenregel, Produktregel und Kettenregel schon hattet, so sagen diese Regeln gerade, daß die Differenzierbarkeit bei diesen Prozessen erhalten bleibt, sofern die einzelnen Glieder bereits differenzierbar sind. Jetzt ist aber die Funktion [mm]f: \ x \mapsto x[/mm] differenzierbar, ebenso die konstante Funktion [mm]g: \ x \mapsto 1[/mm]. Also ist auch [mm]f \cdot f[/mm] differenzierbar (Produktregel) und [mm]f \cdot f + g[/mm] (Summenregel). Zuletzt braucht man noch die Differenzierbarkeit von [mm]h: \ x \mapsto \sqrt[k]{x}[/mm]. Die ist für [mm]x>0[/mm] bekannt. Da man mit [mm]f \cdot f + g[/mm] aber in diesen Bereich kommt, ist auch [mm]h \circ \left( f \cdot f + g \right)[/mm] differenzierbar (Kettenregel).
So müßte man das aufschreiben, wenn man ganz ausführlich ist. In der Regel sagt man aber: Offensichtlich setzt sich die Funktion aus differenzierbaren Grundfunktionen durch die Operationen Produkt, Summe, Verkettung zusammen. Da bei diesen Operationen Differenzierbarkeit erhalten bleibt, ist auch die gegebene Funktion differenzierbar.
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vielen dank leopold ,so ist es natürlich besser.
aber im nächsten schritt zeige ich dir mal eine funktion ,bei der man
auf deine weise nicht mehr argumentieren kann.
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| Aufgabe | f(x)= [mm] \begin{cases} (+x- [x]), & \mbox {für } [x] \mbox{ gerade } \\ (-x+[x]+1), & \mbox{für}[x] \mbox { ungerade } \end{cases}
[/mm]
x [mm] \in \IR
[/mm]
wobei [x] :=max{k [mm] \in \IZ [/mm] : k [mm] \le [/mm] x} [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] |
bei dieser aufgabe geht das z.b. nicht. wer kann differenzierbarkeit und stetigkeit davon untersuchen?
bin gerade dabei zu tüfteln,gedankenfluss bei mir ist aber äußerst zähflüssig dabei.
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Wenn ich es in der Eile nicht falsch gemacht habe, dann kann diese Funktion auch durch
[mm]f(x) = 1 - \left| x-1 \right| \ \ \mbox{für} \ \ 0 \leq x < 2[/mm]
[mm]f(x+2) = f(x) \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
beschrieben werden. Sie hat damit die Periode 2, so daß sich alles Wesentliche bereits im Intervall [mm]0 \leq x < 2[/mm] abspielt. Spannend sind also nur noch die Stelle [mm]x=1[/mm] (bei [mm]t=0[/mm] ist die Betragsfunktion nicht differenzierbar) und das Randverhalten [mm]x \to 0[/mm] bzw. [mm]x \to 2[/mm] (Stetigkeit oder Differenzierbarkeit könnte bei der periodischen Fortsetzung verloren gehen).
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ok danke ,aber wie bist du bloss auf dieses f(x) und f(x+2) gekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Do 21.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> ok danke ,aber wie bist du bloss auf dieses f(x) und f(x+2)
> gekommen?
Das f(x) wohl mit etwas tüfteln - ohne Tüfteln sieht man halt sehr schnell, dass diese Funktion auf [0,2] einfach ein Dreick mit Spitze (0,1) ist. Die Funktion hat Periode 2, da ja [m][x+2]\equiv [x] \mod 2[/m]. Also überall stetig, diffbar fast überall außer in den SPitzen.
SEcki
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oh mann ,ich hab mir gerade den grafen gezeichnet,verstehe aber nicht wie der zustande kommt.was wird an der x,was an der y achse dargestellt,dh.wie setzt sich ein punkt zusammen?
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Noch einfacher ist die folgende Beschreibung der Funktion
[mm]f(x) = |x| \ \ \mbox{für} \ \ -1 \leq x < 1[/mm]
[mm]f(x+2) = f(x) \ \ \mbox{für} \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Die erste Sache ist relativ einfach. Betrachte zunächst [mm]x \in [-1,0)[/mm]. Für solche [mm]x[/mm] ist [mm][x] = -1[/mm], insbesondere ungerade. Nach Definition gilt daher:
[mm]f(x) = -x + [x] + 1 = -x - 1 + 1 = -x = |x|[/mm]
Und jetzt betrachte [mm]x \in [0,1)[/mm] und führe eine analoge Rechnung durch.
Nun zur Periodizität. Zunächst einmal ist es egal, ob man zuerst 2 addiert und dann zur nächsten ganzen Zahl abrundet oder ob man erst abrundet und dann 2 addiert: [mm][x+2] = [x]+2[/mm]. Jetzt unterscheidet man die Fälle [mm][x][/mm] gerade oder [mm][x][/mm] ungerade. Nehmen wir den ersten Fall an, daß also [mm][x][/mm] gerade ist. Dann ist auch [x+2] = [x] + 2 gerade. Nach Definition von [mm]f[/mm] gilt daher:
[mm]f(x+2) = x+2 - [x+2] = x +2 - \left( [x] + 2 \right) = x - [x] = f(x)[/mm]
Und für [mm][x][/mm] ungerade kannst du einen entsprechenden Beweis führen.
Für [mm]x \in [-1,1)[/mm] stellt der Graph der Betragsfunktionen eine Zacke nach unten dar. Diese Zacke wird nun unendlich oft aneinander gehängt (das sagt gerade die Beziehung [mm]f(x+2) = f(x)[/mm]). Der Graph von [mm]f[/mm] ist also so etwas wie ein zackiger Cosinus-Graph, der zwischen 0 und 1 hin und her pendelt und die Periode 2 besitzt.
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vielen dank ,ich hab etwas lang gebraucht ,um das ganze zu verstehen.
darauf zu kommen ist dann nochmal eine höhere kunst.
vielen dank nochmal.
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