diff'zieren mit zwei Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
f:R-->R, [mm] f(x,y)=\wurzel{x^2 +y^2} [/mm] in (0,0) nicht total diffenrenzierbar ist. |
Hallo Leute?
Ich schlage mich gerader mit der obigen Fragestellung rum, weiß leider nicht genau wie ich damit umgehen soll.
Ich wollte nun die Grenzwerte der partiellen Ableitungen betrachten, aber wie macht man das?
[mm] \bruch{\partial f_{(0, y_{0})}} {\partial x}\bruch{f(0+\Delta x, y_{0})-f(0, y_{0})}{\Delta x}
[/mm]
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{\Delta x^2 +y^2_{0}}-\wurzel{y^2_{0}}}{\Delta x}
[/mm]
Ist an diesem Ansatz irgend etwas richtig ;)?
mfg,
Lentio
|
|
| |
|
Hallo Lentio,
> Zeigen Sie, dass die Funktion
>
> f:R-->R, [mm]f(x,y)=\wurzel{x^2 +y^2}[/mm] in (0,0) nicht total
> diffenrenzierbar ist.
> Hallo Leute?
>
> Ich schlage mich gerader mit der obigen Fragestellung rum,
> weiß leider nicht genau wie ich damit umgehen soll.
>
> Ich wollte nun die Grenzwerte der partiellen Ableitungen
> betrachten, aber wie macht man das?
>
> [mm]\bruch{\partial f_{(0, y_{0})}} {\partial x}\bruch{f(0+\Delta x, y_{0})-f(0, y_{0})}{\Delta x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{\Delta x^2 +y^2_{0}}-\wurzel{y^2_{0}}}{\Delta x}[/mm]
>
> Ist an diesem Ansatz irgend etwas richtig ;)?
Der Ansatz ist sogar sehr richtig.
>
> mfg,
> Lentio
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Antwort.
Leider steck ich in dem Punkt fest. Sehe ich richtig, das der Grenzwert hier 0 ist?
mfg
Lentio
|
|
|
| |
|
Hallo Lentio,
> Danke für die Antwort.
>
> Leider steck ich in dem Punkt fest. Sehe ich richtig, das
> der Grenzwert hier 0 ist?
>
Poste doch dazu Deine Rechenschritte,
wie Du auf diesen Grenzwert kommst.
>
> mfg
>
>
> Lentio
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Oh..muss ehrlich gestehen, dass ich es mir nur so gedacht habe. Da Delta x gegen 0 "geht", bleibt im Zähler doch nur die Wurzelterme, die sich aufhebe. Scheint mir im nachhinein auch Blödsinn zu sein. Aber wie ich rechnerisch weiter gehen kann, da habe ich leider keine Idee.
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo Lentio,
> Oh..muss ehrlich gestehen, dass ich es mir nur so gedacht
> habe. Da Delta x gegen 0 "geht", bleibt im Zähler doch nur
> die Wurzelterme, die sich aufhebe. Scheint mir im
> nachhinein auch Blödsinn zu sein. Aber wie ich rechnerisch
> weiter gehen kann, da habe ich leider keine Idee.
Das Stichwort hiert lautet "Erweitern":
[mm]\bruch{\wurzel{\Delta x^2 +y^2_{0}}-\wurzel{y^2_{0}}}{\Delta x}= \bruch{\wurzel{\Delta x^2 +y^2_{0}}-\wurzel{y^2_{0}}}{\Delta x} * \bruch{\wurzel{\Delta x^2 +y^2_{0}}+\wurzel{y^2_{0}}}{\wurzel{\Delta x^2 +y^2_{0}}+\wurzel{y^2_{0}}}= \ ...[/mm]
>
> mfg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Dankeschön. Nie im Leben wäre ich darauf gekommen.
Bisher habe ich das: [mm] \bruch{\Delta x^2}{\Delta x \wurzel{\Delta x^2+y_0^2} + \Delta x\wurzel{y_0^2}}.
[/mm]
Soll/kann ich irgendwie geeignet abschätzen?
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo Lentio,
> Dankeschön. Nie im Leben wäre ich darauf gekommen.
> Bisher habe ich das: [mm]\bruch{\Delta x^2}{\Delta x \wurzel{\Delta x^2+y_0^2} + \Delta x\wurzel{y_0^2}}.[/mm]
>
> Soll/kann ich irgendwie geeignet abschätzen?
Hier kannst Du zunächst mit [mm]\Delta x[/mm] kürzen,
da [mm]\Delta x \not= 0[/mm].
Dann hängt der Grenzwert offenbar auch von [mm]y_{0}[/mm] ab.
>
> mfg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Geduld.
Wie soll ich das machen? Fallunterscheidung große/kleine [mm] y_0 [/mm] ?
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo Lentio,
> Danke für die Geduld.
>
> Wie soll ich das machen? Fallunterscheidung große/kleine
> [mm]y_0[/mm] ?
Es gibt zwei Fälle:
i) [mm]y_{0}\not=0[/mm]
ii) [mm]y_{0}=0[/mm]
>
>
> mfg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Di 08.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo Lentio,
>
> > Danke für die Geduld.
> >
> > Wie soll ich das machen? Fallunterscheidung große/kleine
> > [mm]y_0[/mm] ?
>
>
> Es gibt zwei Fälle:
>
> i) [mm]y_{0}\not=0[/mm]
>
> ii) [mm]y_{0}=0[/mm]
>
>
> >
> >
> > mfg
>
>
> Gruss
> MathePower
Mal eine Bemerkung abseits der aktuellen Rechnerei:
Der Graph der Funktion ist die Mantelfläche eines Kegels. Dieser hat bei (0|0) eine fiese spitze Spitze. Keine guten Bedingungen für Differenzierbarkeit...
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für den Hinweis!
Werde ich mir gleich mal anschauen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
also kann man sagen : [mm] y_0\not=0 [/mm] ist der Grenzwert 0
für [mm] y_0= [/mm] 0 Grenzwert 1.
Somit exestiert der Grenwert dieser partiellen Ableitung nicht und die Funktion ist in (0,0) nicht differenziebar?
mfg,
Lentio
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Di 08.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf GW 1 für [mm] y_0=0
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
[mm] \limes_{x_0 \rightarrow 0}\bruch{\Delta x}{\wurzel{\Delta x^2}}=
[/mm]
[mm] \limes_{x_0 \rightarrow 0}\bruch{\Delta x}{\Delta x}=
[/mm]
[mm] \limes_{x_0 \rightarrow 0}1.
[/mm]
Oder geht das nicht?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mi 09.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry du hast recht, ich hatte nen Denkfehler.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> [mm]\limes_{x_0 \rightarrow 0}\bruch{\Delta x}{\wurzel{\Delta x^2}}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{x_0 \rightarrow 0}\bruch{\Delta x}{\Delta x}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{x_0 \rightarrow 0}1.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Oder geht das nicht?
Es geht nicht: $\wurzel{\Delta x^2}}=|\Delta x|$
FRED
>
>
> mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Funktion
>
> f:R-->R, [mm]f(x,y)=\wurzel{x^2 +y^2}[/mm] in (0,0) nicht total
> diffenrenzierbar ist.
>
> Hallo Leute?
>
> Ich schlage mich gerader mit der obigen Fragestellung rum,
> weiß leider nicht genau wie ich damit umgehen soll.
>
> Ich wollte nun die Grenzwerte der partiellen Ableitungen
> betrachten, aber wie macht man das?
>
> [mm]\bruch{\partial f_{(0, y_{0})}} {\partial x}\bruch{f(0+\Delta x, y_{0})-f(0, y_{0})}{\Delta x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{\Delta x^2 +y^2_{0}}-\wurzel{y^2_{0}}}{\Delta x}[/mm]
>
> Ist an diesem Ansatz irgend etwas richtig ;)?
Na ja, Du sollst auf Differenzierbarkeit in (0,0) untersuchen, warum wählst Du dann nicht gleich [mm] y_0=0 [/mm] ?
Dann mußt Du betrachten:
[mm] $\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \wurzel{h^2}/h= [/mm] |h|/h$
und dieser Quotient hat keinen Grenzwert für h [mm] \to [/mm] 0 (warum ??). Damit ist f in (0,0) nicht partiell differnzierbar nach x. Und das macht die (totale) Differenzierbarkeit in (0,0) kaputt.
FRED
>
> mfg,
> Lentio
|
|
|
|
