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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $C^{\infty}(0,1)$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Betrachten Sie die lineare Abbildung
[mm] $D:C^{\infty}(0,1)\to C^{\infty}(0,1)$ [/mm]
mit [mm] $f\mapsto [/mm] f'$
für [mm] $f\in C^{\infty}(0,1)$
[/mm]
I) Bestimmen Sie den Kern von D.
II) Zeigen Sie, dass D surjektiv ist. |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Also der Kern dieser Abbildung sind ja einfach die Konstanten Funktionen, da diese auf Null abgebildet werden.
Könnte ich das so aufschreiben?
[mm] $ker(D)=\{f\in C^{\infty}(0,1)|D(f)=0\}$
[/mm]
Also $f'=0$
[mm] $\int f'\, [/mm] dx=c$
Also die Menge aller Konstanten.
II)
Das diese Abbildung surjektiv ist, ist auch klar, da ich jede beliebige Funktion treffen kann.
Ich muss ja zeigen, dass ich für alle [mm] $f'\in C^{\infty}(0,1)$ [/mm] ein [mm] $f\in C^{\infty}(0,1)$ [/mm] finde, mit $D(f)=f'$.
Das ist aber klar, nach dem Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung, denn wenn
$D(f)=f'$, dann ist
[mm] $\int f'\, [/mm] dx=f+c$ und eine solche Funktion ist sicherlich ein Element von [mm] $C^{\infty}(0,1)$
[/mm]
Kann ich das so aufschreiben, oder ist dies falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 So 11.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]C^{\infty}(0,1)[/mm] der [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum der unendlich
> oft differenzierbaren Funktionen. Betrachten Sie die
> lineare Abbildung
>
> [mm]D:C^{\infty}(0,1)\to C^{\infty}(0,1)[/mm]
>
> mit [mm]f\mapsto f'[/mm]
>
> für [mm]f\in C^{\infty}(0,1)[/mm]
>
> I) Bestimmen Sie den Kern von D.
>
> II) Zeigen Sie, dass D surjektiv ist.
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Also der Kern dieser
> Abbildung sind ja einfach die Konstanten Funktionen, da
> diese auf Null abgebildet werden.
> Könnte ich das so aufschreiben?
>
> [mm]ker(D)=\{f\in C^{\infty}(0,1)|D(f)=0\}[/mm]
>
> Also [mm]f'=0[/mm]
>
> [mm]\int f'\, dx=c[/mm]
>
> Also die Menge aller Konstanten.
Ja
>
> II)
>
> Das diese Abbildung surjektiv ist, ist auch klar, da ich
> jede beliebige Funktion treffen kann.
> Ich muss ja zeigen, dass ich für alle [mm]f'\in C^{\infty}(0,1)[/mm]
> ein [mm]f\in C^{\infty}(0,1)[/mm] finde, mit [mm]D(f)=f'[/mm].
> Das ist aber klar, nach dem Hauptsatz der Differenzial und
> Integralrechnung, denn wenn
>
> [mm]D(f)=f'[/mm], dann ist
>
> [mm]\int f'\, dx=f+c[/mm] und eine solche Funktion ist sicherlich
> ein Element von [mm]C^{\infty}(0,1)[/mm]
>
> Kann ich das so aufschreiben, oder ist dies falsch?
Vielleicht meinst Du das richtige .....
Sei g [mm] \in C^{\infty}(0,1). [/mm] Dann ist g stetig, besitzt also auf (0,1) eine Stammfunktion f.
Dann ist D(f)=f'=g.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, vielen Dank für die Kontrolle und die Verbesserung.
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