diff'bar/partiell diff'b < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mi 02.07.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] mit f(0,0) = 0 und f(x,y) = [mm] \bruch{x^2*y}{x^2 + y^3} [/mm] fuer (x,y) [mm] \not= [/mm] 0
zeige, dass f(x,y) im Punkte 0 nicht total diff'bar ist, aber partiell diff'bar |
Also ich hab schon so einiges darueber gehört, aber ich bin mir nie sicher, wie genau man das machen muss. Und zwar ist doch eine Abbilund total differenzierbar, wenn die erste Ableitung stetig ist oder... wir hatten das dann ueber folgende Formel gemacht:
df(x)(y) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x + ty) - f(x)}{t}
[/mm]
1.Fall: x=0 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(ty)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{t} \bruch{t^3*y_1^2*y_2}{t^2*(y_1^2 + ty_2^3)} [/mm] = [mm] y_2
[/mm]
2.Fall: y=0 [mm] {n\rightarrow\infty} \bruch{f(x) - f(x)}{t} [/mm] = 0
so das ist ja alles verständlich... nur was genau sagt das mir jetzt... das es nicht total differenzierbar ist... oder muss ich jetzt noch auf stetigkeit ueberpruefen und zwar einmal fuer x = 0 und einmal fuer y = 0 wie kann man den bitteschön die Stetigkeit im Punkt Null nachweisen... geht das ueberhaupt...
Könnte ich statt der Formel oben auch einfach die partielle Ableitung nach x und einmal nach y untersuchen, aber da muesste ja dann das gleiche rauskommen...
Und wie kann ich dann hier zeigen, dass es nur partiell differenzierbar ist...
wäre echt super lieb wenn mir jemand helfen könnte....
lg xxxx
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> [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]f(0,0) = 0[/mm] und [mm]f(x,y) = \bruch{x^2*y}{x^2 + y^3}[/mm] [mm]fuer (x,y) ]\not= 0[/mm]
>
> zeige, dass f(x,y) im Punkte 0 nicht total diff'bar ist,
> aber partiell diff'bar
> Also ich hab schon so einiges darueber gehört, aber ich
> bin mir nie sicher, wie genau man das machen muss. Und zwar
> ist doch eine Abbilund total differenzierbar, wenn die
> erste Ableitung stetig ist oder... wir hatten das dann
> ueber folgende Formel gemacht:
>
> [mm]df(x)(y) =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x + ty) - f(x)}{t}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du müsstest hier [mm] $t\rightarrow [/mm] 0$ gehen lassen. [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] macht keinen Sinn.
>
> 1.Fall: x=0 [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(ty)}{t} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{t} \bruch{t^3*y_1^2*y_2}{t^2*(y_1^2 + ty_2^3)} = y_2[/mm]
>
> 2.Fall: y=0 [mm]^\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x) - f(x)}{t} = 0[/mm]
>
> so das ist ja alles verständlich... nur was genau sagt das
> mir jetzt... das es nicht total differenzierbar ist... oder
> muss ich jetzt noch auf stetigkeit ueberpruefen und zwar
> einmal fuer x = 0 und einmal fuer y = 0 wie kann man den
> bitteschön die Stetigkeit im Punkt Null nachweisen... geht
> das ueberhaupt...
> Könnte ich statt der Formel oben auch einfach die partielle
> Ableitung nach x und einmal nach y untersuchen, aber da
> muesste ja dann das gleiche rauskommen...
> Und wie kann ich dann hier zeigen, dass es nur partiell
> differenzierbar ist...
>
> wäre echt super lieb wenn mir jemand helfen könnte....
In diesem Falle genügt es zu zeigen, dass eine andere Richtungsableitung (als eine in Richtung der $x$- bzw. der $y$-Achse) an der Stelle $(0,0)$ nicht ebenfalls $0$ ist. In Polarkoordinaten [mm] $x=r\cos(\varphi)$, $y=r\sin(\varphi)$ [/mm] sieht man dies sehr schnell, denn es ist
[mm]\frac{f(r,\varphi)-f(0,0)}{r}=\frac{(r\cos(\varphi))^2\cdot r\sin(\varphi)}{r\cdot \big((r\cos(\varphi))^2+(r\sin(\varphi))^3\big)}=\frac{\cos^2(\varphi)\cdot\sin(\varphi)}{\cos^2(\varphi)+r\sin^3(\varphi)}[/mm]
Wenn Du also die Richtungsableitung für einen Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] mit [mm] $\cos(\varphi)\neq [/mm] 0$ und [mm] $\sin(\varphi)\neq [/mm] 0$ nimmst, dann ist der Limes dieses Ausdrucks für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0+$ gleich [mm] $\sin(\varphi)$, [/mm] also nicht gleich $0$. Für eine Funktion $f$, die in $(0,0)$ differenzierbar wäre und Richtungsableitungen in zwei linear unabhängigen Richtungen hat, die gleich $0$ sind (hier die partiellen Ableitungen nach $x$ bzw. $y$), müssten natürlich alle Richtungsableitungen gleich $0$ sein (weil die Ableitung ja eine lineare Funktion ist, deren Verhalten durch ihr Verhalten in zwei linear unabhängigen Richtungen bereits vollständig festgelegt ist).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 02.07.2008 | | Autor: | xxxx |
oh sry, da hab ich den limes nicht verändert... meinte auch t [mm] \to [/mm] 0
also mit den Polarkoordinaten ist das schon einfacher, aber wir haben das nie so gemacht und die sind auch nicht so gluecklick wenn wir das so machen... könnte ich jetzt z.B einfach zeigen, nachdem ich dass mit dem Limes gemacht habe, dass die Abbildung nicht linear ist, indem ich einfach ein Gegenbeispiel nenne und daraus dann folge, dass es nicht diff'bar im Nullpunkt ist... reicht das dann um dies zu zeigen...
und was ich immer noch nicht so ganz verstanden habe, wie kann ichzeigen, dass es partiell diff'bar ist...
lg xxxx
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> oh sry, da hab ich den limes nicht verändert... meinte auch
> t [mm]\to[/mm] 0
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> also mit den Polarkoordinaten ist das schon einfacher, aber
> wir haben das nie so gemacht und die sind auch nicht so
> gluecklick wenn wir das so machen... könnte ich jetzt z.B
> einfach zeigen, nachdem ich dass mit dem Limes gemacht
> habe, dass die Abbildung nicht linear ist, indem ich
> einfach ein Gegenbeispiel nenne und daraus dann folge, dass
> es nicht diff'bar im Nullpunkt ist... reicht das dann um
> dies zu zeigen...
>
> und was ich immer noch nicht so ganz verstanden habe, wie
> kann ichzeigen, dass es partiell diff'bar ist...
Also partielle Differenzierbarkeit in $(0,0)$ ist trivial, da die Funktionswerte für $x=0$ und [mm] $y\neq [/mm] 0$ bzw. [mm] $x\neq [/mm] 0$ und $y=0$ stets $0$ sind. Formal:
[mm]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\frac{0^2\cdot y}{0^2+y^3}-0}{y}=0[/mm]
[mm]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^2\cdot 0}{x^2+0^3}-0}{x}=0[/mm]
Wenn wir uns nun aber $(0,0)$ unter einem Winkel von [mm] $45^\circ$ [/mm] nähern, dann sieht die Sache anders aus:
[mm]\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2\cdot \frac{t}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^3}-0}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{2}(1+t)}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm]
Und nun, wie gesagt: wenn die partiellen Ableitungen beide $0$ sind, dann müsste die Ableitung, sofern sie existieren würde, identisch $0$ sein (wegen deren Linearität). In diesem Falle müssten auch alle Richtungsableitungen $0$ sein, was aber für die [mm] $45^\circ$-Richtung [/mm] offenbar nicht der Fall ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 02.07.2008 | | Autor: | xxxx |
Also klar ist mir schon was du da sagst, nur wie kann man es zeigen.... das ist mein hautproblem... wir haben das mit diesen Winkeln nie gemacht und deswegen sollte ich das auch nicht benutzen... gibs da keine Möglichkeit das anders zu machen... ich mein z.B ueber die Linearität oder Stetigkeit der ersten partiellen Abbildung oder ueber den Limes...
lg xxxx
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> Also klar ist mir schon was du da sagst, nur wie kann man
> es zeigen.... das ist mein hautproblem... wir haben das mit
> diesen Winkeln nie gemacht und deswegen sollte ich das auch
> nicht benutzen...
Ich habe doch in meiner letzten Antwort gar keine Polarkoordinaten mehr gebraucht. Du musst ja nicht erklären, auf welchem geheimnisvollen Weg Du auf den Gedanken gekommen bist, die Ableitung in Richtung $(1,1)$ anzuschauen.
> gibs da keine Möglichkeit das anders zu
> machen... ich mein z.B ueber die Linearität oder Stetigkeit
> der ersten partiellen Abbildung oder ueber den Limes...
Aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen könntest Du auf Differenzierbarkeit schliessen. Aber so unmittelbar ist nicht klar, ob aus fehlender Stetigkeit der partiellen Ableitungen folgen würde, dass Differenzierbarkeit (in $(0,0)$) nicht vorliegen kann. Deshalb denke ich, dass Du nicht um das Argument herumkommst, dass die Ableitung in $(0,0)$ die Nullabbilung [mm] $\IR^2\rightarrow \IR$ [/mm] sein müsste, weil die beiden partiellen Ableitungen in $(0,0)$ gleich $0$ sind, und deshalb ein Widerspruch zur Ableitung $1$ in Richtung $(1,1)$ besteht.
Das ganze Argument in meiner letzten Antwort ist überhaupt nicht mehr von Polarkoordinaten abhängig. Lasse die Argumentation, weshalb Du ausgerechnet die Ableitung in Richtung $(1,1)$ angeschaut hast, kurzerhand weg.
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