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| Aufgabe | Zu folgender Matrix A ist eine Matrix S gesucht, für die gilt: S^-1 * A * S = M, wobei M eine Diagonalmatrix ist.
A= [mm] \pmat{ 1 & 1-2b \\ 1-2b & 1 } [/mm] |
Nun wollte ich hier mit der Hauptachsen Transformation ansetzen. Ich habe es auch mit dem Orthonormalisierungsverfahren versucht, aber das funktioniert wohl nicht.
Also zuerst habe ich die Eigenwerte ermittelt und bin auf [mm] x_1=-2b [/mm] und auf [mm] x_2=2b-2 [/mm] gekommen.
Damit habe ich die Eigenvektoren ermittelt und bin auf [mm] v_1=(-1,1) [/mm] für [mm] x_1 [/mm] und auf [mm] v_2=(1,1) [/mm] für [mm] x_2 [/mm] gekommen. Das müsste alles stimmen, da bin ich mir noch relativ sicher.
Nun müsste ich die beiden noch normalisieren. Bei den normalisierten Eigenvektoren bin ich auf [mm] v_1'=\vektor{-\bruch{1}{\wurzel{4b}} \\ \bruch{1}{\wurzel{4b}}} [/mm] und [mm] v_2'=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{4-4b}} \\ \bruch{1}{\wurzel{4-4b}}}
[/mm]
Nun habe ich mehrere Fragen:
- warum muss ich die Eigenvektoren eigentlich nochmal normalisieren?
- Kann das Ergebnis so stimmen? Ich habe es spatenweise in eine Matrix eingetragen, aber ich komm nicht richtig bis zum Ergebnis bisher.
Danke schon mal!
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> Zu folgender Matrix A ist eine Matrix S gesucht, für die
> gilt: S^-1 * A * S = M, wobei M eine Diagonalmatrix ist.
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1-2b \\
1-2b & 1 }[/mm]
> Nun wollte ich hier mit
> der Hauptachsen Transformation ansetzen. Ich habe es auch
> mit dem Orthonormalisierungsverfahren versucht, aber das
> funktioniert wohl nicht.
>
> Also zuerst habe ich die Eigenwerte ermittelt und bin auf
> [mm]x_1=-2b[/mm] und auf [mm]x_2=2b-2[/mm] gekommen.
Ich hab beim char. Polynom:
[mm]\lambda^2-2*\lambda+4*b-4*b^2[/mm]
und als Eigenwerte:
[mm]2b[/mm] und [mm]-2*b+2[/mm]
>
> Damit habe ich die Eigenvektoren ermittelt und bin auf
> [mm]v_1=(-1,1)[/mm] für [mm]x_1[/mm] und auf [mm]v_2=(1,1)[/mm] für [mm]x_2[/mm] gekommen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Das müsste alles stimmen, da bin ich mir noch relativ
> sicher.
>
> Nun müsste ich die beiden noch normalisieren. Bei den
> normalisierten Eigenvektoren bin ich auf
> [mm]v_1'=\vektor{-\bruch{1}{\wurzel{4b}} \\
\bruch{1}{\wurzel{4b}}}[/mm]
> und [mm]v_2'=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{4-4b}} \\
\bruch{1}{\wurzel{4-4b}}}[/mm]
>
> Nun habe ich mehrere Fragen:
> - warum muss ich die Eigenvektoren eigentlich nochmal
> normalisieren?
Für das Diagonalisieren bräuchst du die EV nicht normieren.
> - Kann das Ergebnis so stimmen? Ich habe es spatenweise in
> eine Matrix eingetragen, aber ich komm nicht richtig bis
> zum Ergebnis bisher.
Siehe Eigenwerte:
Zur Probe ich komme auf:
[mm]\left( \begin {array}{cc} 1/2&-1/2\\
1/2&1/2
\end {array} \right)
*
\left( \begin {array}{cc} 1&1-2\,b\\
1-2\,b&1
\end {array} \right)
*
\left( \begin {array}{cc} 1&1\\
-1&1\end {array}
\right)
= \left( \begin {array}{cc} 2\,b&0\\
0&-2\,b+2
\end {array} \right)
[/mm]
>
> Danke schon mal!
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