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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - diagonalisierbar
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diagonalisierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Fr 25.05.2012
Autor: eps

Aufgabe
1. ist jede positiv definite matrix diagonalisierbar? ist jede symmetrische Matrix diagonalisierbar?
2. aus AB=BA folgt, dass A und B mit derselben Transformationsmatrix diagonalisierbar ist.

zu 2. zu der Umkehrung kenn ich den beweis, aber wenn AB=BA dann gilt [mm] \Gamma D_A \Gamma^T \Delta D_B \Delta^T [/mm] = [mm] \Delta D_B \Delta^T\Gamma D_A \Gamma^T [/mm]
und wie kann ich daraus jetzt schliessen, dass [mm] \Gamma=\Delta? [/mm]

zu 1. such ich ein buch, wo ich den beweis finde und zu 2. eigentlich auch. hab gesucht und gesucht und nichts gefunden.

        
Bezug
diagonalisierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Fr 25.05.2012
Autor: Schachtel5

Hi,  für symmetrische Matrizen verweise ich mal auf dem Spektralsatz ;).
positiv definit/semidefinit reicht nicht aus, da kannst du dir Gegenbeispiele überlegen, wie zB [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] ist nicht negativ definit, aber nicht diagonalisierbar.

Bezug
                
Bezug
diagonalisierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:55 Fr 25.05.2012
Autor: wieschoo


> Hi,  für symmetrische Matrizen verweise ich mal auf dem
> Spektralsatz ;).

Das ist richtig.

>  positiv definit/semidefinit reicht nicht aus, da kannst du
> dir Gegenbeispiele überlegen, wie zB [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }[/mm]

Es war auch explizit positiv definit geschrieben. Da klappt das nämlich.

> ist nicht negativ definit, aber nicht diagonalisierbar.

gruß
wieschoo

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Bezug
diagonalisierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Sa 26.05.2012
Autor: Schachtel5

oh, habe dann nicht richtig gelesen

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Bezug
diagonalisierbar: Frage der Definition
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:59 So 27.05.2012
Autor: wieschoo

So klar ist es mir jetzt doch nicht mehr. Man kann ja die positive Definitheit anscheinend auch für nicht symmetrische Matrizen definieren.

Jetzt ist die Frage, wie die positive Definitheit definiert ist. Etwa so:

"Eine symmetrische Billienarform <.,.> heißt positiv definit, falls <v,v> echt größer 0 für alle v."


Bezug
                                        
Bezug
diagonalisierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 So 27.05.2012
Autor: eps

also für matrizen heisst positiv definit, dass x^TAx>0 ist für alle x [mm] \not=0 [/mm]

aber kann ich daraus folgern dass die matrix diagonalisierbar ist?

diagonalisierbar heißt ja es existiert eine unitäre Matrix [mm] \Gamma [/mm] und eine Diagonalmatrix D sodass [mm] A=\Gamma [/mm] D [mm] \Gamma^T [/mm]

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Bezug
diagonalisierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 So 27.05.2012
Autor: wieschoo

Nach dieser Definition genügt das Beispiel von Schachtel5. Diese Matrix ist nicht diagonalisierbar.
> also für matrizen heisst positiv definit, dass x^TAx>0 ist
> für alle x [mm]\not=0[/mm]
>  
> aber kann ich daraus folgern dass die matrix
> diagonalisierbar ist?
>  
> diagonalisierbar heißt ja es existiert eine unitäre
> Matrix [mm]\Gamma[/mm] und eine Diagonalmatrix D sodass [mm]A=\Gamma[/mm] D

Die Definition von Diagonalisierbarkeit ist lediglich eine Existensaussage über eine Basis zu der deine Matrix A Diagonalgestalt hat. Unitär müsste dann [mm] $\Gamma$ [/mm] nicht sein.

> [mm]\Gamma^T[/mm]
>  


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diagonalisierbar: positiv definit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Fr 25.05.2012
Autor: wieschoo

erste Aufgabe

Willst du das nciht wirklich selber probieren?

edit: Ist doch eine Frage der Definition.

zweite Aufgabe
A und B sind einzeln diagonalisierbar sein. Naja die Eigenräume von A sind B-invariant und umgekehrt. Nimmt man einen Eigenraum F von B , so ist die Einschränkung [mm] $A|_{F}$ [/mm] auch diagonalisierbar.

Da die Eigenräume von B eine direkte Summe vom Vektorraum bilden
[mm] $V=\bigoplus E_{B,i}$, [/mm] ist es möglich in jedem dieser direkten Summanden eine Basis von EV von A zu wählen. Diese EV bilden eine Basis von V und sie sind EV von A und B. Was sagt dir das?

Insgesamt ist das nun nicht wirklich schwer. Bei der zweite hätte man aber eventuell Hinweise geben sollen.

Falls du doch nur aus einem Buch das für 2. abschreiben möchtest:
"simultane Diagonalisierbarkeit"

gruß
wieschoo

Bezug
                
Bezug
diagonalisierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Sa 26.05.2012
Autor: eps

Danke für die antworten.... ich hab allerdings doch noch fragen:

> erste Aufgabe
>  
> Willst du das nciht wirklich selber probieren?
>  
> Sei A positiv definit, d.h. [mm]\forall x\neq 0 : x^TAx>0[/mm].
> Wäre A nicht invertierbar, dann gäbe es ein [mm]x\neq 0[/mm] mit
> [mm]Ax=0\;[/mm]. Was sagt dir das?
>  

meintest du hier "wäre A nicht diagonalisierbar"? aber warum existiert dann ein solches x? wenn es so ist, dann ist es ein widerspruch zur positiven definitheit.

> Im Übrigen ist dann auch [mm]A^{-1}[/mm] positiv definit.
>  
> zweite Aufgabe
>  A und B sind einzeln diagonalisierbar sein. Naja die
> Eigenräume von A sind B-invariant und umgekehrt. Nimmt man
> einen Eigenraum F von B , so ist die Einschränkung [mm]A|_{F}[/mm]
> auch diagonalisierbar.
>  
> Da die Eigenräume von B eine direkte Summe vom Vektorraum
> bilden
>  [mm]V=\bigoplus E_{B,i}[/mm], ist es möglich in jedem dieser
> direkten Summanden eine Basis von EV von A zu wählen.
> Diese EV bilden eine Basis von V und sie sind EV von A und
> B. Was sagt dir das?

ja dann lässt sich die transformationsmatrix aus diesen gemeinsamen Eigenvektoren erstellen.
ein buch hab ich dazu nicht gefunden, zur simultanen diagonalisierbarkeit.

so ganz klar ist mir der ganze beweis noch nicht.
ich weiss für einen eigenvektor v von A
[mm] A(Bv)=B(Av)=B\lambda v=\lambda(Bv) [/mm]
somit ist Bv eigenvektor von A.
analog ist Aw Eigenvektor von B, wenn w Eigenvektor von B ist.
kann ich daraus schon schliessen, dass es eine gemeinsame Basis von Eigenvektoren gibt?

ich würde das halt gerne etwas klarer aufschreiben...

>  
> Insgesamt ist das nun nicht wirklich schwer. Bei der zweite
> hätte man aber eventuell Hinweise geben sollen.
>  
> Falls du doch nur aus einem Buch das für 2. abschreiben
> möchtest:
>  "simultane Diagonalisierbarkeit"
>  
> gruß
>  wieschoo


Bezug
                        
Bezug
diagonalisierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 So 27.05.2012
Autor: wieschoo

schönen Pfingstsonntag,

> Danke für die antworten.... ich hab allerdings doch noch
> fragen:
>  
> > erste Aufgabe
>  >  

Frage der Definition

>  
> > Im Übrigen ist dann auch [mm]A^{-1}[/mm] positiv definit.
>  >  
> > zweite Aufgabe
>  >  A und B sind einzeln diagonalisierbar sein. Naja die
> > Eigenräume von A sind B-invariant und umgekehrt. Nimmt man
> > einen Eigenraum F von B , so ist die Einschränkung [mm]A|_{F}[/mm]
> > auch diagonalisierbar.
>  >  
> > Da die Eigenräume von B eine direkte Summe vom Vektorraum
> > bilden
>  >  [mm]V=\bigoplus E_{B,i}[/mm], ist es möglich in jedem dieser
> > direkten Summanden eine Basis von EV von A zu wählen.
> > Diese EV bilden eine Basis von V und sie sind EV von A und
> > B. Was sagt dir das?
>  
> ja dann lässt sich die transformationsmatrix aus diesen
> gemeinsamen Eigenvektoren erstellen.
> ein buch hab ich dazu nicht gefunden, zur simultanen
> diagonalisierbarkeit.
>
> so ganz klar ist mir der ganze beweis noch nicht.
> ich weiss für einen eigenvektor v von A
>  [mm]A(Bv)=B(Av)=B\lambda v=\lambda(Bv)[/mm]
>  somit ist Bv
> eigenvektor von A.
>  analog ist Aw Eigenvektor von B, wenn w Eigenvektor von B
> ist.
> kann ich daraus schon schliessen, dass es eine gemeinsame
> Basis von Eigenvektoren gibt?
>  
> ich würde das halt gerne etwas klarer aufschreiben...
>  >  
> > Insgesamt ist das nun nicht wirklich schwer. Bei der zweite
> > hätte man aber eventuell Hinweise geben sollen.
>  >  
> > Falls du doch nur aus einem Buch das für 2. abschreiben
> > möchtest:
>  >  "simultane Diagonalisierbarkeit"

Mit dem Begriff findet sich doch auch ein Script.
[]Hier
[]oder da

>  >  
> > gruß
>  >  wieschoo
>  


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