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| Aufgabe | geg. n x n- Matrix [mm] A_n= \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
mit n>=2
jetzt soll man zeigen, dass für n gerade [mm] det(A_n)=0 [/mm] gilt und für n ungerade [mm] det(A_n)=(-1)^{n/2} [/mm] |
ich hab versucht die determinante über laplace entwicklung zu berechnen, kam aber zu keinem mir sinnvoll erscheinenden ergebnis (das hier zu posten wäre zu aufwendig).
ne andere idee da ran zu gehen hab ich irgendwie nicht. vielleicht kann mir ja einer von euch nen tipp geben, wie man hier vorgehen könnte.
danke schon mal im voraus für die hilfe.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
PS. ich hoffe man kann sich die matrix [mm] A_n [/mm] vorstellen. falls nicht: sie hat über und unter der Hauptdiagonalen 1en, sonst nur nullen. vielleicht hilft das noch n bissl.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Di 20.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> geg. n x n- Matrix [mm]A_n= \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> mit n>=2
> jetzt soll man zeigen, dass für n gerade [mm]det(A_n)=0[/mm] gilt
> und für n ungerade [mm]det(A_n)=(-1)^{n/2}[/mm]
Bist du dir sicher? Es ist [mm] $\det A_1 [/mm] = 0$ und [mm] $\det A_2 [/mm] = 1$, was nicht damit zusammenpasst.
> ich hab versucht die determinante über laplace
> entwicklung zu berechnen, kam aber zu keinem mir sinnvoll
> erscheinenden ergebnis (das hier zu posten wäre zu
> aufwendig).
> ne andere idee da ran zu gehen hab ich irgendwie nicht.
> vielleicht kann mir ja einer von euch nen tipp geben, wie
> man hier vorgehen könnte.
> danke schon mal im voraus für die hilfe.
Ich denke, Laplace ist hier schon angebracht. Versuch doch mal die Determinante von [mm] $A_n$ [/mm] durch die von [mm] $A_{n-2}$ [/mm] auszudruecken, und das ganze so auf [mm] $\det A_1$ [/mm] bzw. [mm] $\det A_2$ [/mm] zurueckzufuehren.
LG Felix
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[mm] A_1 [/mm] existiert nicht, da es erst bei n>=2 beginnt. also mit [mm] A_2 [/mm] als erste mögliche variante
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mi 21.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]A_1[/mm] existiert nicht, da es erst bei n>=2 beginnt.
Das ist Ansichtssache.
> also mit [mm]A_2[/mm] als erste mögliche variante
Das aendert nichts daran, dass [mm] $\det A_3 [/mm] = 0$ ist.
LG Felix
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