determinante einer matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mo 18.05.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Sei
A = a b c
0 e f
0 0 g
a) Berechnen Sie die det A. Von welchen Einträgen hängt das Ergebnis ab? Wie könnte das Ergebnis für beliebige Dimension n lauten?
b) Berechnen Sie die inverse Matrix (wann existiert sie?) Was fällt auf?
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Hallo Ihr lieben!
Bei der Aufgabenstellung a habe ich die Determinante aeg heraus bekommen.
Bei der Aufgabenstellung B würde ich auch den gleichen Rechenweg benutzen. Das heißt, dass bei mir die Inverse gleich der Determinante ist. Ist das richtig oder gibt es vll einen Weg, bei dem ich nicht das gleiche Ergebnis rauskriege???
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei
> A = a b c
> 0 e f
> 0 0 g
>
> a) Berechnen Sie die det A. Von welchen Einträgen hängt
> das Ergebnis ab? Wie könnte das Ergebnis für beliebige
> Dimension n lauten?
>
> b) Berechnen Sie die inverse Matrix (wann existiert sie?)
> Was fällt auf?
>
> Hallo Ihr lieben!
>
> Bei der Aufgabenstellung a habe ich die Determinante aeg
> heraus bekommen.
Richtig! AEG = aus Erfahrung gut
> Bei der Aufgabenstellung B würde ich auch den gleichen
> Rechenweg benutzen. Das heißt, dass bei mir die Inverse
> gleich der Determinante ist. Ist das richtig
völlig falsch. Die Determinante ist eine Zahl, die Inverse ist eine Matrix !!
Zeig mal Deinen "Rechenweg"
FRED
> oder gibt es
> vll einen Weg, bei dem ich nicht das gleiche Ergebnis
> rauskriege???
>
>
> danke
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
die inverse einer matrix bekommst du indem du zb mit hilfe von gauss die gegebene matrix also jetzt zb
abc | 100
def | 010
ghi | 001
und dann musst die matrix so hinbekommen, das links
100
010
001
steht und zack hast du auf der rechten seite die inverse stehen :)
es gibt aber auch noch nen anderes verfahren und zwar ist die matrix
A=abc
def
ghi
dann ist die inverse die A^-1=1/det(A) A^adj wobei adj für adjungierte matrix steht :)
gruß fawkes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mo 18.05.2009 | | Autor: | idonnow |
Mein Rechenweg
det A
[mm] (-1)^1+1 [/mm] * a * det e f +
0 g
[mm] (-1)^2+1 [/mm] * 0 * det b c +
0 g
[mm] (-1)^3+1 [/mm] * 0 * det b c +
e f
=> a * ( e * g - f * 0) + 0 + 0 =aeg
Dieser Rechenweg gilt doch auch für die Inverse oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 18.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die det(A) hast du richtig ausgerechnet.
Du willst doch die inverse Matrix? davon ie det. ist dieselbe, aber damit hast du noch nicht die inv. Matrix.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
a b c
A=0 e f
0 0 g
die adjungierte bestimmst du indem du rechnest:
â1,1(also der erste eintrag oben linkes, sprich erste zeile und erste spalte)=(-1)^(1+1) * a1,1 (in deinem fall halt a) * det(a2,2+a3,3-(a3,2+a2,3)) (in deinem fall halt det(e*g-0*f)
und das machst du halt für alle neun einträge und schon hast du die adj Matrix und davor schreibst du dann 1/detA und schon hast du die inverse :)
ach noch zur ergänzung, bei zb â1,1 musst du die erste zeile und die erste spalte wegstreichen und wie schon gesagt nur noch die determinante von der reduzierten 2x2 matrix ausrechnen.
gruß fawkes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mo 18.05.2009 | | Autor: | idonnow |
Danke!
Deine Antwort konnte ich nachvollziehen und mein Rechenweg sieht so aus, aber irgendwie komme ich an einer stelle nicht weiter:
[mm] (-1)^1+1 [/mm] * a * det g -f
0 e +
[mm] (-1)^2+1 [/mm] * 0 * det g -c
0 b +
[mm] (-1)^3+1 [/mm] * 0 * det f -c
-e b +
[mm] (-1)^4+1 [/mm] * b * det g - f
0 0 +
[mm] (-1)^5+1 [/mm] * e * det g -c
0 a +
[mm] (-1)^6+1 [/mm] * 0 * det f -c
0 a +
[mm] (-1)^7+1 [/mm] * c * det 0 -e
0 0 +
[mm] (-1)^8+1 [/mm] * f * det 0 -b
0 a +
[mm] (-1)^9+1 [/mm] * g * det e -b
0 a
Ist der Rechenweg richtig oder habe ich vielleicht ein paar einträge vertauscht???
Beim Ausrechen hatte ich Schwierigkeiten bei z. B.
a * g -f
0 e
Wie rechne ich das denn aus???
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 18.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du machst ist ja entsetzlich umtaendlich, fuer mich auch nicht wirklich lebar.
man "entwickelt" eine det. doch am besten nach einer Zeile ODER Spalte, in der moeglichst viele nulen stehen.
hier sollte man also nach der ersten Spalte entwickeln.
[mm] \vmat{ a & b &c \\ 0 & e &f\\ 0& 0& g}=a*\vmat{ e & f \\ 0& g }+0* [/mm] egal +0*egal=a*(eg-0f)=aeg
egal, weil es nicht drauf ankommt, was da steht, wenn es mit 0 Mult. wird.
Laenger sollte sowas nicht sein.
ich versteh noch nicht, was du mit der Inversen machen willst?
Hast du die inzwischen ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 18.05.2009 | | Autor: | idonnow |
Eigentlich war diese umständliche Rechnung für die Inverse gedacht.
Die Determinante hatte ich schon zuvor ausgerechnet.
Ich komme irgendwie nicht auf die Inverse.
Den Rechenweg kenne ich zwar, aber trotzdem...
: (
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 18.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
> siehe oben
> Eigentlich war diese umständliche Rechnung für die Inverse
> gedacht.
> Die Determinante hatte ich schon zuvor ausgerechnet.
> Ich komme irgendwie nicht auf die Inverse.
> Den Rechenweg kenne ich zwar, aber trotzdem...
> : (
Hallo.
Dann zeig doch mal, wieweit du gekommen bist.
Also:
[mm] \pmat{a&b&c&|&1&0&0\\0&e&f&|&0&1&0\\0&0&g&|&0&0&1}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{1&\bruch{b}{a}&\bruch{c}{a}&|&\bruch{1}{a}&0&0\\0&1&\bruch{f}{e}&|&0&\bruch{1}{e}&0\\0&0&1&|&0&0&\bruch{1}{g}}
[/mm]
Jetzt hast du doch "vorne" schon eine Dreiecksmatrix, die du noch auf die Einheitsmatrix bringen musst.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mo 18.05.2009 | | Autor: | idonnow |
meine inverse a e g
e a g
g e a
ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> siehe oben
> meine inverse a e g
> e a g
> g e a
>
> ok?
Nein !! wie kommst Du darauf ? Ist z.B. a=e=g=1, so hätte Deine "Inverse" die Det. = 0, was nicht sein kann
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
also wie bereits oben geschrieben berechnet man die inverse entweder mit der matrix links und der einheitsmatrix rechts so wie es oben steht oder so wie ich es eben schon oben geschrieben hab.
A^-1 = 1/det(A) * A^adj
also berechnen wir die neun einträge der adj matrix wie oben geschrieben:
â1,1=(-1)^(1+1) * a * det(e f , 0 g)=aeg
â1,2=(-1)^(1+2) * b * det(0 f , 0 g)=0
â1,3=(-1)^(1+3) * c * det(0 e , 0 0)=0
â2,1=(-1)^(2+1) * 0 * det(b c , 0 g)=0
â2,2=(-1)^(2+2) * e * det(a c , 0 g)=aeg
â2,3=(-1)^(2+3) * f * det(a b , 0 0)=0
â3,1=(-1)^(3+1) * 0 * det(b c , e f )=0
â3,2=(-1)^(3+2) * 0 * det(a c , 0 f)=0
â3,3=(-1)^(3+3) * g * det(a b , 0 e)=aeg
so damit hast du die einträge jetzt ist meine pizza grad fertig und ich muss essen wenn du noch ne frage hast meld dich :)
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