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| Aufgabe | sei U [mm] \in \IR^n [/mm] und f : U [mm] \to \IR^n [/mm] eine differenzierbare Abbildung. Sei F : [mm] \IR^n \to \IR [/mm] differenzierbar mit DF(y) [mm] \not= [/mm] 0 für alle y [mm] \in \IR^n [/mm] und F(f(x)) = const. für alle x aus U.
zeige:
det(Df(x)) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] U |
huhu,
also meine Überlegungen bis jetzt:
der Nabla Operator bei F(f(x)) also D(F(f(x))) ist = 0.
das ganze hier ist ja nix anderes als Vektoren und Matrizen. Fasse ich nun
F als eine Matrix auf und f(x) ebenso, multipliziere ich ja sozusagen die Matrizen (Vektoren wären ebenfalls möglich)
D.h. ich kann das ganze doch umschreiben zu, wenn ich die determinante betrachte:
0 = det D(F((f(x))) = det (DF) [mm] \* [/mm] det(Df(x)) und da die n. Vor. DF immer ungleich 0 ist, muss det(Df(x)) = 0 sein oder?
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Hallo eve,
> sei U [mm]\in \IR^n[/mm] und f : U [mm]\to \IR^n[/mm] eine differenzierbare
> Abbildung. Sei F : [mm]\IR^n \to \IR[/mm] differenzierbar mit DF(y)
> [mm]\not=[/mm] 0 für alle y [mm]\in \IR^n[/mm] und F(f(x)) = const. für
> alle x aus U.
>
> zeige:
> det(Df(x)) = 0 für alle x [mm]\in[/mm] U
> huhu,
>
> also meine Überlegungen bis jetzt:
>
> der Nabla Operator bei F(f(x)) also D(F(f(x))) ist = 0.
>
> das ganze hier ist ja nix anderes als Vektoren und
> Matrizen. Fasse ich nun
>
> F als eine Matrix auf und f(x) ebenso, multipliziere ich ja
> sozusagen die Matrizen (Vektoren wären ebenfalls
> möglich)
> D.h. ich kann das ganze doch umschreiben zu, wenn ich die
> determinante betrachte:
>
> 0 = det D(F((f(x))) = det (DF) [mm]\*[/mm] det(Df(x)) und da die n.
> Vor. DF immer ungleich 0 ist, muss det(Df(x)) = 0 sein oder?
Das ist noch sehr ungenau und [mm] \det [/mm] DF ergibt insofern keinen Sinn, dass DF keine quadratische Matrix ist.
Wir haben für alle [mm] x\in\IR^n.
[/mm]
$F(f(x)) = const$
Nach Differentiation gilt für alle [mm] x\in\IR^n [/mm] (Kettenregel):
[mm] $DF(f(x))\cdot [/mm] Df(x) = 0$.
Wegen [mm] DF(f(x))\neq0 [/mm] kann Df(x) folglich keinen vollen Rang haben. Also [mm] \det(Df(x))=0
[/mm]
LG
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oh gott ich knobel seit 3 stunden dran und dann schaffst du es in 10 min^^
vielen Dank ;) eig einfach nur die Kettenregel, daran hab ich nicht gedacht
Gruß
Eve
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