cos(arctan x) woher die Formel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kappen |
Hi leute :)
bin durch eine Integration an sowas gekommen:
ln(cos(arctan(x))) und weiß, dass [mm] -\bruch{1}{2}ln|1+x^2| [/mm] herauskommt und kann es mit hilfe von [mm] cos=\bruch{1}{\wurzel{1+tan^2x}} [/mm] auch zeigen.
Ich frage mich aber, wo diese Formeln herkommen. ich kann mit [mm] cos=\bruch{1}{\wurzel{1+tan^2x}} [/mm] ein bisschen rumrechnen:
[mm] cos=\bruch{1}{\wurzel{1+tan^2x}}\gdw cos=\bruch{1}{\wurzel{cos^2x/cos^2x+sin^2x/cos^2x}} \gdw cos=\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{cos^2x}}}\gdw [/mm] 0=0
So herum gehts, aber wie kommt man denn auf die Idee, das anders rum zu machen?
Mich würde es also einfach nur interessieren, wie man auf [mm] cos=\bruch{1}{\wurzel{1+tan^2x}} [/mm] kommt ;)
Danke & schöne Grüße
|
|
| |
|
Hallo,
das geht immer mit denselbem Trick:
Du brauchst zunächst eine Formel, in der nur [mm] \tan [/mm] und [mm] \cos [/mm] drinvorkommen. Das geht hier so:
[mm] $\tan(x) [/mm] = [mm] \frac{\sin(x)}{\cos(x)} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{1-\cos^{2}(x)}}{\cos(x)}$.
[/mm]
Im nächsten Schritt musst du nach [mm] \cos(x) [/mm] umstellen, also nach der Winkelfunktion, "in der noch was drinstehen soll" (bei dir soll im [mm] \cos [/mm] nachher noch [mm] \arctan(x) [/mm] drinstehen):
[mm] $\Rightarrow \tan^{2}(x) [/mm] = [mm] \frac{1-\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \tan^{2}(x)*\cos^{2}(x) [/mm] = [mm] 1-\cos^{2}(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (\tan^{2}(x) [/mm] + [mm] 1)*\cos^{2}(x) [/mm] = 1$
[mm] $\Rightarrow \cos^{2}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\tan^{2}(x) + 1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \cos(x) [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1}{\tan^{2}(x) + 1}}$.
[/mm]
Nun setze $x = [mm] \arctan(y)$:
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \cos(\arctan(y)) [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1}{\tan^{2}(\arctan(y)) + 1}}$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \cos(\arctan(y)) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{y^{2} + 1}}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kappen |
Genial, das kommt dann mal auf meinen schlauen Zettel ;)
Danke für den Tip
|
|
|
|
