charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 So 15.07.2007 | | Autor: | Sofie33 |
| Aufgabe | Berechnen sie das charakteristische Polynom des Endomorphismus
[mm] p:\IR[x]\le2 \to\IR[x]\le2 [/mm] , f [mm] \mapsto f(-1)*x^2+f(1)*x-f'
[/mm]
|
Ich weiß wie ich von matrizen das charakteristische Polynom und die eigenwerte etc. berechne . Aber ich kann mit dieser gegebenen Form nichts anfangen. Bitte einen Hinweis wie ich die gegebene Abbildung sehen muss.
Ich habe diese frage noch in keinen anderem Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
was bezeichnest du mit
[mm]\IR[x]\le2 [/mm] ?
Den Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] ?
dann wähle die (kanonische) Basis in diesem Vektorraum, beschreibe deinen Endomorphismus bzgl dieser Basis durch eine Matrix und bestimme von ihr das charakteristische Polynom. Das ist das gesucht Polynom ( da unabhängig von der Wahl der Basis)
Gruß korbinian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 So 15.07.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Ich danke für deine schnelle antwort. Darauf bin ich mal wider nicht gekommen . Werde dies nun tun. Danke :))
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 So 15.07.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Also die Kanonishce Basis ist ja B1=(1,0) B2= (0,1)
Wenn ich jetzt die Matrix in bezug von den Basen ausrechnen möchte muss ich diese doch erst Berechnen mit der from der Abbildung. Wie soll ich die f(-1), f(1) und f' sehen? wie kann ich das dort einsetzen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Definitions- und Zielmenge Deiner Abbildung p ist ja die Menge der reellen Polynome vom Höchstgrad 2.
Daß diese einen Vektorraum bilden, ist Dir aus der Vorlesung bekannt, ebenso, daß dieser Vektorraum eine Basis hat.
Eine einfache und einsichtige Basis für diesen VR ist [mm] B=(1,x,x^2)
[/mm]
Bzgl. dieser Basis solltest Du nun die Abbildungsmatrix aufstellen.
Dazu müssen wir erstmal gucken, was p mit den Elementen aus [mm] \IR[x]_{\le 2} [/mm] macht.
Laut Abbildungsvorschrift
ist [mm] p(f)=f(-1)\cdot{}x^2+f(1)\cdot{}x-f' [/mm] ,
also ist [mm] p(ax^2+bx+c)=(a*(-1)^2+b*(-1)+c(x^2+(a*1^2+b*1+c)-(2ax+b).
[/mm]
Nun überlege Dir, worauf die Basis abgebildet wird, stelle das dann in Koordinaten bzgl. B dar und stecke die Spalten in Deine Matrix.
Von der berechnest Du dann das charakteristische Polynom.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
