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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 12.06.2005 | | Autor: | mariposa |
Hi,
Ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei U eine offene Teilmenge von [mm] \IR [/mm] X { [mm] \IR^+\cup{0} [/mm] } und sei f: [mm] \IR \to [/mm] { [mm] 0,\infty [/mm] } definiert durch:
f(x)= max { 0,sup { [mm] y|(x,y)\in [/mm] U } }.
Zeigen Sie, dass f borellmessbar ist.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Mo 13.06.2005 | | Autor: | mariposa |
Vielleicht kann man ja zeigen, dass die Funktion stetig ist oder dass sie höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat.
Aber ich kann mir diese Funktion überhaupt nicht vorstellen, wie die aussieht. Deshalb weiß ich auch nicht, wie man die Stetigkeit beweist.
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Hallo mariposa!
Diese Funktion ist leider nicht unbedingt stetig. Ein kleines Beispiel:
Setze [mm] $A:=(0;1)\times(1;2)$, $B:=(0;2)\times(0;1)$ [/mm] und [mm] $U:=A\cup [/mm] B$.
Dann ist [mm] $f(x)=\begin{cases} 2, & x\in (0;1)\\ 1,&x\in[1;2)\end{cases}$.
[/mm]
Zur Messbarkeit habe ich im Moment leider auch keine zündende Idee... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß, banachella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Vermutlich hattet ihr die Sätze, dass das Maximum zweier messbarer Funktionen wieder messbar ist und dass das Supremum über eine Familie messbarer Mengen wieder messbar ist, schon.
Nun ist aber bekanntlich für festes $x$ mit $U$ auch die Menge $U_x = \{y \in \IR^+ \cup \{0\} \, : \, (x,y) \in U\} = \pi_2^{-1}(\{x\}) \cap U$, der so genannte $x$-Schnitt von $U$, Borel-messbar und daher auch:
$x \mapsto \sup\{y \in U_x\}$
als Funktion.
Dann ist aber auch
$x \mapsto \max(\sup\{y \in U_x\},0\}$
Borel-messbar.
Viele Grüße
Julius
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