borel-messbar -> messbar? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Mija |
Hallo,
ich habe hier einige Aufgaben, die ursprünglich darauf basieren, Borel-Messbarkeit nachzuweisen. Nun soll ich diese aber auf Messbarkeit nachweisen.
Kann ich denn sagen, dass Messbarkeit aus Borel-Messbarkeit folgt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe hier einige Aufgaben, die ursprünglich darauf
> basieren, Borel-Messbarkeit nachzuweisen. Nun soll ich
> diese aber auf Messbarkeit nachweisen.
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> Kann ich denn sagen, dass Messbarkeit aus Borel-Messbarkeit
> folgt?
nein. Schau' Dir doch mal die (allgemeine) Definition der Messbarkeit an: Sind $(X, [mm] \sigma_X)$ [/mm] und $(Y, [mm] \sigma_Y)$ [/mm] Messräume, so heißt $f: X [mm] \to [/mm] Y$ messbar genau dann, wenn für alle $B [mm] \in \sigma_Y$ [/mm] gilt, dass [mm] $\underbrace{f^{-1}(B)}_{=\{f \in B\}=\{x \in X: f(x) \in B\}} \in \sigma_X\,.$
[/mm]
Anders gesagt: Urbilder (bzgl. [mm] $f\,$) [/mm] von Elementen der Sigma-Algebra [mm] $\sigma_Y$ [/mm] sind stets Elemente der Sigma-Algebra [mm] $\sigma_X\,.$
[/mm]
Sind bei Dir allerdings nur Borel-Sigma-Algebren vorgegeben (bzw. spezielle Funktionen), so ist das eine spezielle Messbarkeit (siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Wiki, messbare Funktion), und sofern ihr in der Aufgabe auch nur diese meinen solltet, dann könntest Du Dich natürlich darauf berufen, dass ihr das schon getan habt.
Es wäre aber unüblich, zweimal das gleiche zu tun, daher denke ich nicht, dass ihr nur Funktionen [mm] $\IR^n \to \IR$ [/mm] (oder ähnliches) behandelt. Wenn es, wie ich annehme, um andere Messräume geht, dann hast Du obiges Kriterium zu prüfen.
Und damit das nicht zu schwer oder viel wird, schau' mal in Deinem Skript nach, dass man dabei nicht wirklich alle Elemente der Sigma-Algebra (bzgl. des Zielbereiches) durchtesten braucht, sondern, dass es reicht, sich auf einen Erzeuger dieser zu beschränken (es steht übrigens auch in dem Wiki-Link).
Beste Grüße,
Marcel
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