bogenzusammenhängend < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass die n-Sphäre
[mm] S^n:= [/mm] {x [mm] \in [/mm] R^(n+1) | [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 1} bogenzusammenhängend ist für n [mm] \ge [/mm] 1.
b) Folgern sie, dass jede stetige Fkt f: [mm] S^n \to [/mm] R ein Antipodenpaar mit gleichem Funktionswert besitzt, d.h. ein y [mm] \in S^n [/mm] mit f(y) = f(-y) |
Hallo!
Wir brauchen mal wieder eure Hilfe!
Beim Aufgabenteil a) wissen wir zwar, dass man eine stetige Funktion in [mm] S^n [/mm] finden muss, die je 2 Punkte in [mm] S^n [/mm] miteinander verbindet, aber haben keine Ahnung, wie man das macht.
Zum Teil b) haben wir uns folgendes gedacht - stimmt das so?
Betrachte Funktion g(y) = f(y) - f(-y)
also ist g stetig, wenn f stetig ist
also
y [mm] \to [/mm] -y [mm] \Rightarrow [/mm] g(y) [mm] \to [/mm] g(-y)
y [mm] \to [/mm] -y [mm] \Rightarrow [/mm] f(y)-f(-y) [mm] \to [/mm] f(-y) - f(y)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(y) [mm] \to [/mm] f(-y) und f(-y) [mm] \to [/mm] f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] f(y)=f(-y)
[mm] \Rightarrow [/mm] Beh.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
LG
Corinna und Linda
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Hallo Ihr beiden,
> a) Zeigen Sie, dass die n-Sphäre
> [mm][mm] S^n:=....
[/mm]
> bogenzusammenhängend ist für n [mm]\ge[/mm] 1.
>
> b) Folgern sie, dass jede stetige Fkt f: [mm]S^n \to[/mm] R ein
> Antipodenpaar mit gleichem Funktionswert besitzt, d.h. ein
> y [mm]\in S^n[/mm] mit f(y) = f(-y)
> Hallo!
>
> Wir brauchen mal wieder eure Hilfe!
> Beim Aufgabenteil a) wissen wir zwar, dass man eine
> stetige Funktion in [mm]S^n[/mm] finden muss, die je 2 Punkte in [mm]S^n[/mm]
> miteinander verbindet, aber haben keine Ahnung, wie man das
> macht.
Eigentlich müsstet ihr nur eine parametrisierung der sphäre angeben, oder? man kann dann zu zwei punkten auf der sphäre die jeweiligen urbilder betrachten und diese durch eine gerade verbinden. das bild der geraden auf der sphäre ist dann eine stetige verbindung.
das geht bestimmt auch anders , evtl. noch leichter. Ich weiß aber nicht, was ihr in diese richtung an der uni schon gemacht habt.
> Zum Teil b) haben wir uns folgendes gedacht - stimmt das
> so?
>
> Betrachte Funktion g(y) = f(y) - f(-y)
> also ist g stetig, wenn f stetig ist
> also
> y [mm]\to[/mm] -y [mm]\Rightarrow[/mm] g(y) [mm]\to[/mm] g(-y)
>
> y [mm]\to[/mm] -y [mm]\Rightarrow[/mm] f(y)-f(-y) [mm]\to[/mm] f(-y) - f(y)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(y) [mm]\to[/mm] f(-y) und f(-y) [mm]\to[/mm] f(y) [mm]\Rightarrow[/mm]
> f(y)=f(-y)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Beh.
>
Sorry, ich verstehe nicht, was ihr da macht.... die funktion g zu betrachten, ist schon mal richtig. allerdings müsst ihr dann mit dem zwischenwertsatz für stetige fkten. argumentieren.
Gruß
Matthias
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