beweis zu äquivalenzrelation < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 Fr 12.01.2007 | | Autor: | NatiSt |
| Aufgabe | Es sei R eine Aquivalenzrelation. Zeigen Sie:
a) (a,b) Element R <->Ka= Kb
b) (a,b) nicht Element R <-> K a geschnittenKb =leere Menge
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Frage im Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:33 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ka meint was?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 14.01.2007 | | Autor: | NatiSt |
| Aufgabe | Ja, mit Ka ist die Äquivalenzklasse gemeint.
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hat jemand hinweise zu b)
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Hallo
na das ist nicht so schwer, wenn du dir meine Begründungen für (a) durchgelesen hast, das geht (fast) genauso.
Also mal einen Tipp:
"=>": Sei [mm] \neg [/mm] aRb
zu zeigen: [mm] Ka\cap Kb=\emptyset
[/mm]
indirekt: Ann: [mm] Ka\cap Kb\not=\emptyset
[/mm]
Sei also [mm] x\in Ka\cap [/mm] Kb [mm] \Rightarrow xRa\wedge [/mm] xRb
[mm] \Rightarrow aRx\wedge [/mm] xRb (wegen der Symmetrie von R)
[mm] \Rightarrow [/mm] aRb (wegen der Transitivität von R) WIDERSPRUCH zur Vor.
[mm] \Rightarrow [/mm] Ann. falsch [mm] \Rightarrow Ka\cap Kb=\emptyset
[/mm]
"<=": zz: [mm] Ka\cap Kb=\emptyset \rightarrow \neg [/mm] aRb
[mm] \Leftrightarrow [/mm] aRb [mm] \rightarrow Ka\cap Kb\not=\emptyset [/mm]
Hier sollte dir nun Teil (a) die Augen öfnen ;)
Lieben Gruß
schachuzipus
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Hallo
ich nehme an, mit Ka und Kb meinst du die Äquivalenzklassen von a und b.
zu c) Bei der "Hinrichtung" [mm] "\Rightarrow [/mm] " hast du ja schon den richtigen Ansatz, beide Teilmengenbeziehungen zu zeigen, also ich mach das mal für eine....
Sei also R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M und seien, a,b [mm] \in [/mm] M mit aRb
zu zeigen ist dann Ka=Kb, dh
(i)Ka [mm] \subset [/mm] Kb und
(ii)Ka [mm] \supset [/mm] Kb
zu (i): Sei x [mm] \in [/mm] Ka [mm] \Rightarrow [/mm] xRa (so ist die Äquivalenzklasse definiert)
Nach Vor. ist aRb, und, da R als Äquivalenzrelation transitiv ist folgt aus
xRa und aRb: xRb, also x [mm] \in [/mm] Kb.
Die (ii) geht genauso
Zur Rückrichtung [mm] "\Leftarrow [/mm] "
Sei Ka=Kb
zu zeigen: aRb
Sei x [mm] \in [/mm] Ka=Kb [mm] \Rightarrow [/mm] xRa und xRb
wegen der Symmetrie von R folgt aus xRa: aRx und nun wieder wegen
der Transitivität aus aRx und xRb: aRb
Gruß
schachuzipus
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