beweis eines untervektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sind folgende Mengen Untervektorräume? Begründen Sie ihre Antwort
[mm] U_{1} [/mm] = [mm] \{ (a,b,c,d)^T \in R^4 | a+3b+2c+4d=0 \} \subseteq R^4
[/mm]
[mm] U_{2} [/mm] = [mm] \{ (x,y,z,)^T \in R^3 | 2xy = z \} \subseteq R^3 [/mm] |
Kann mir jemand helfen ?
und sagen wie ich hieran gehen soll. wäre super
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Hallo carpe_noctum,
> Sind folgende Mengen Untervektorräume? Begründen Sie ihre
> Antwort
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> [mm]U_{1}[/mm] = [mm]\{ (a,b,c,d)^T \in R^4 | a+3b+2c+4d=0 \} \subseteq R^4[/mm]
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> [mm]U_{2}[/mm] = [mm]\{ (x,y,z,)^T \in R^3 | 2xy = z \} \subseteq R^3[/mm]
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> Kann mir jemand helfen ?
>
> und sagen wie ich hieran gehen soll. wäre super
Nun, es gilt (im Falle, dass es sich um einen UVR handelt), die 3 Unterraumkriterien nachzuweisen:
1) [mm] $U_i\neq\emptyset$ [/mm] bzw. äquivalent [mm] $0\in U_i$, [/mm] wobei $0$ den Nullvektor bezeichnet.
2) Für alle [mm] $a,b\in U_i$ [/mm] gilt: [mm] $a+b\in U_i$ [/mm]
3) Für alle [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und alle [mm] $a\in U_i$ [/mm] gitl: [mm] $\lambda\cdot{}a\in U_i$
[/mm]
Wenn du widerlegen willst, dass es sich um einen UVR handelt, gib zu einem der 3 Punkte ein Gegenbsp.
Gruß
schachuzipus
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hey vielen dank für die schnelle antwort.
die kriterien habe ich soweit auch schon gefunden gehabt, allerdings hängt es bei mir bei der sogenannten "transfer-leistung" =)
könntest du mir vielleicht an den gegebenen aufgaben (oder meinetwegen auch an einem anderen beispiel) zeigen wie ich genau vorgehen soll, wäre super.
gruß
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Hiho,
prüfe einfach stupide die Kriterien durch, bspw. beim ersten Fall:
$ [mm] U_{1} [/mm] $ = $ [mm] \{ (a,b,c,d)^T \in R^4 | a+3b+2c+4d=0 \} \subseteq R^4 [/mm] $
a) Ist [mm] U_1 [/mm] leer?
b) Sei $z = x + y$ mit [mm] $x,y\in U_1$ [/mm] (was gilt dann für x und y?), liegt z dann ebenfalls in [mm] U_1? [/mm] (wann liegt z denn in [mm] U_1 [/mm] ? )
c) Sei $z = [mm] \lambda [/mm] x$ mit [mm] $x\in U_1$ [/mm] (was gilt dann für x?), liegt z dann ebenfalls in [mm] U_1? [/mm] (wann liegt z denn in [mm] U_1 [/mm] ? )
MFG,
Gono.
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Also für [mm] U_{1} [/mm] habe ich jetzt folgende Lösung mir gedacht
[mm] \vec{x},\vec{y} \in U_{1}
[/mm]
dann gilt ja auch [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4} [/mm] = 0
bzw [mm] y_{1} [/mm] + [mm] 3y_{2} [/mm] + [mm] 2y_{3} [/mm] + [mm] 4y_{4} [/mm] = 0
Nun soll ja auch gelten dass
[mm] \lambda\vec{x} [/mm] + [mm] \mu\vec{y} [/mm] = [mm] \vec{z} [/mm] soll Element von [mm] U_{1} [/mm] sein
wenn ich nun [mm] \vec{z} [/mm] in die Gleichung einsetze bekomme ich
[mm] z_{1} [/mm] + [mm] 3z_{2} [/mm] + [mm] 2z_{3} [/mm] + [mm] 4z_{4} [/mm] = 0
und bekomme nach umstellen und ausklammern folgendes
[mm] \lambda(x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4}) [/mm] + [mm] \mu(y_{1} [/mm] + [mm] 3y_{2} [/mm] + [mm] 2y_{3} [/mm] + [mm] 4y_{4}) [/mm] = 0
damit würde ja darstehen [mm] \lambda*0 [/mm] + [mm] \mu*0 [/mm] = 0
damit wäre es ja bewiesen dass ein UVR vorliegt, ODER ?habe ich einen REchenfehler gemacht ?
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aber bei [mm] U_{2} [/mm] finde ich einfach keinen Anfang bzw komme ich nicht weiter ......hat hier jemand einen konkreten Tipp ?
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Hiho,
du hast alles richtig gemacht, nur vergessen zu zeigen, dass [mm] U_1 [/mm] nicht leer ist 
Sonst passt alles.
Bei zweiten gehst du genauso vor wie eben:
a) Ist $ [mm] U_2 [/mm] $ leer?
b) Sei $ z = x + y $ mit $ [mm] x,y\in U_2 [/mm] $ (was gilt dann für x und y?), liegt z dann ebenfalls in $ [mm] U_2? [/mm] $ (wann liegt z denn in $ [mm] U_2 [/mm] $ ? )
c) Sei $ z = [mm] \lambda [/mm] x $ mit $ [mm] x\in U_2 [/mm] $ (was gilt dann für x?), liegt z dann ebenfalls in $ [mm] U_2? [/mm] $ (wann liegt z denn in $ [mm] U_2 [/mm] $ ? )
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hmmm und wie beweis ich dass der Untervektorraum nicht leer ist ?
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> Hiho,
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> du hast alles richtig gemacht, nur vergessen zu zeigen,
> dass [mm]U_1[/mm] nicht leer ist
> Sonst passt alles.
hmmm und wie beweis ich dass der Untervektorraum nicht leer ist ?
>
> Bei zweiten gehst du genauso vor wie eben:
>
> a) Ist [mm]U_2[/mm] leer?
> b) Sei [mm]z = x + y[/mm] mit [mm]x,y\in U_2[/mm] (was gilt dann für x und
> y?), liegt z dann ebenfalls in [mm]U_2?[/mm] (wann liegt z denn in
> [mm]U_2[/mm] ? )
>
Tut mir leid aber ich komme hier einfach nicht weiter.
Genau die Fragen stell ich mir ja auch ....und hoffe eigentlich sie hier beantwortet zu bekommen.
kann mir nicht jeman an dem Beispiel konkret zeigen was ich machen soll ? bzw. sagen ob es ein UVR ist oder nicht
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Hallo nochmal,
> hmmm und wie beweis ich dass der Untervektorraum nicht leer
> ist ?
Nun, hatte ich nicht geschrieben, dass es äquivalent ist, zu zeigen, dass der Nullvektor im Unterraum liegt?
Wie ist es denn mit [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] ?
Liegt der in [mm] $U_1$?
[/mm]
Was ist denn $a+3b+2c+4d$?
Das ist doch [mm] $=0+3\cdot{}0+2\cdot{}0+4\cdot{}0=0$, [/mm] also erfüllt der Nullvektor doch diese Bedingung aus [mm] $U_1$, [/mm] damit ist [mm] $\vec{0}=\vektor{0\\0\\0\\0}\in U_1$, [/mm] also [mm] $U_1\neq\emptyset$
[/mm]
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> =====
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> > Hiho,
> >
> > du hast alles richtig gemacht, nur vergessen zu zeigen,
> > dass [mm]U_1[/mm] nicht leer ist
> > Sonst passt alles.
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> hmmm und wie beweis ich dass der Untervektorraum nicht leer
> ist ?
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> >
> > Bei zweiten gehst du genauso vor wie eben:
> >
> > a) Ist [mm]U_2[/mm] leer?
> > b) Sei [mm]z = x + y[/mm] mit [mm]x,y\in U_2[/mm] (was gilt dann für x
> und
> > y?), liegt z dann ebenfalls in [mm]U_2?[/mm] (wann liegt z denn in
> > [mm]U_2[/mm] ? )
> >
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> Tut mir leid aber ich komme hier einfach nicht weiter.
> Genau die Fragen stell ich mir ja auch ....und hoffe
> eigentlich sie hier beantwortet zu bekommen.
> kann mir nicht jeman an dem Beispiel konkret zeigen was
> ich machen soll ? bzw. sagen ob es ein UVR ist oder nicht
Nun, zu (i) habe ich dir schon was gesagt, das kannst du 1:1 übertragen.
Zu (ii) nimm dir halt 2 bel. Vektoren aus [mm] $U_2$ [/mm] her, etwa [mm] $\vec{a}=\vektor{x_1\\y_1\\z_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}=\vektor{x_2\\y_2\\z_2}$
[/mm]
Dann ist [mm] $2x_1y_1=z_1$ [/mm] und [mm] $2x_2y_2=z_2$ [/mm] (so ist ja [mm] $U_2$ [/mm] definiert)
Nun berechne mal [mm] $\vec{a}+\vec{b}$ [/mm] und prüfe, ob der diese Bedingung auch erfüllt.
Für (iii) analog, nimm dir einen Vektor [mm] $\vec{a}=\vektor{x\\y\\z}\in U_2$ [/mm] und ein bel. [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] her und prüfe, ob [mm] $\lambda\cdot{}\vec{a}\in U_2$ [/mm] ist
Bemnutze die definierende Eigenschaft von [mm] $U_2$ [/mm] - mehr hast du ja nicht gegeben ...
LG
schachuzipus
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vielen dank für die sehr hilfreiche antwort.
ich habe noch eine frage
wenn ich das nun bei [mm] U_{2} [/mm] mache dann bekomm ich
nach ein bischen umstellen
[mm] z_{1} [/mm] + [mm] 2x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] 2x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] z_{2} [/mm] = [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}
[/mm]
=> dass dies nur für den Nullvektor erfüllt ist.
Meine Frage ist nun ist [mm] U_{2} [/mm] dann trotzdem ein UVR der eben nur den Nullvektor enthält, ?
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Hallo nochmal,
> vielen dank für die sehr hilfreiche antwort.
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> ich habe noch eine frage
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> wenn ich das nun bei [mm]U_{2}[/mm] mache dann bekomm ich
>
> nach ein bischen umstellen
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> [mm]z_{1}[/mm] + [mm]2x_{1}y_{2}[/mm] + [mm]2x_{2}y_{1}[/mm] + [mm]z_{2}[/mm] = [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2}[/mm]
>
> => dass dies nur für den Nullvektor erfüllt ist.
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> Meine Frage ist nun ist [mm]U_{2}[/mm] dann trotzdem ein UVR der
> eben nur den Nullvektor enthält, ?
Ich verstehe die Frage nicht so recht, die Bedingung, die [mm] $u_2$ [/mm] definiert, ist doch $2xy=z$, da liegt doch zB. der Vektor [mm] $\vektor{1\\1\\2}\neq\vec{0}$ [/mm] drin, denn [mm] $2\cdot{}1\cdot{}1=2$ [/mm] ...
Schreibe genauer, was du meinst ...
Für 2 Vektoren [mm] $\vec{a}=\vektor{x_1\\y_1\\z_1}, \vec{b}=\vektor{x_2\\y_2\\z_2}$ [/mm] ist [mm] $\vec{a}+\vec{b}=\vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}$
[/mm]
Um zu prüfen, ob [mm] $\vec{a}+\vec{b}\in U_2$ [/mm] musst du nachrechnen, ob [mm] $2((x_1+x_2)(y_1+y_2))=z_1+z_2$ [/mm] ist
Mache das mal ...
LG
schachuzipus
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hey, da habe ich mich wohl etwas zu kurz gefasst
also ich habe das eigentlich genauso gemacht wie du sagst
$ [mm] \vec{a}+\vec{b}=\vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2} [/mm] $ eingesetzt bekomme ich $ [mm] 2((x_1+x_2)(y_1+y_2))=z_1+z_2 [/mm] $
Wenn ich das ausmultipliziere bekomme ich
[mm] 2x_1y_1 [/mm] + [mm] 2x_1y_2 [/mm] + [mm] 2x_2y_1 [/mm] + [mm] 2x_2y_2 [/mm] = [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2
[/mm]
Als vorraussetzung habe ich ja
[mm] 2x_1y_1=z_1 [/mm] und [mm] 2x_2y_2=z_2
[/mm]
wenn ich nun diese Vorraussetzungen einsetze bekomm ich ja
[mm] z_1 [/mm] + [mm] 2x_1y_2 [/mm] + [mm] 2x_2y_1 [/mm] + [mm] z_2 [/mm] = [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2
[/mm]
hmmmmmm und jetzt habe ich mir gedacht dass sich die [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] wegkürzen und dann müssten sich ja [mm] 2x_1y_2 [/mm] + 2x_2y gegenseitig aufheben. irgenwie hab ich davon dann auf den Nullvektor geschlossen, dass das wohl falsch ist mir jetzt mit deinem beispiel klar.
aber was sagt mir die gleichung denn dann '????
[mm] 2x_1y_2 [/mm] = - [mm] 2x_2y_1 [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da die Gleichungen nicht allgemein erfüllt sind, sagt dir das, dass die Menge kein UVR ist. denn sie erfüllt ja die Bed. für einen VR nicht.
Gruss leduart
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