beweis durch induktion < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:35 Mi 04.10.2006 | | Autor: | bjoern88 |
| Aufgabe | beweise mittels vollständiger induktion:
n [mm] \varepsilon N_0 a_n [/mm] = [mm] 6^{n+2}+7^{2n+1} [/mm] ist durch 43 teilbar |
Wie löst man dieses problem?
So weit ich weiß muss man 1. den Induktionsanfang machen.
Das heißt ich setze n = 0 in die formel ein:
[mm] 6^2 [/mm] + 7 =43 und somit durch 43 teilbar!
2. Muss ich zeigen das unter annahme die induktionsvorraussetzung sei richtig auch jeder n+1- te wert richtig ist.
[mm] 6^{n+3}+7^{2n+3}= [/mm] k43 [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] 6^{n+2}*6+7^{2n+1}*49= [/mm] k43
Da durch die induktion nur ein weiterer faktor
zu meinen beiden summanden (welche nach vorraussetzung stimmen) dazukamm bleibt die formel für alle n durch 43 teilbar
Stimmt das?
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen !
> beweise mittels vollständiger induktion:
> n [mm]\varepsilon N_0 a_n[/mm] = [mm]6^{n+2}+7^{2n+1}[/mm] ist durch 43
> teilbar
> Wie löst man dieses problem?
>
> So weit ich weiß muss man 1. den Induktionsanfang machen.
> Das heißt ich setze n = 0 in die formel ein:
> [mm]6^2[/mm] + 7 =43 und somit durch 43 teilbar!
>
Das ist in Ordnung.
> 2. Muss ich zeigen das unter annahme die
> induktionsvorraussetzung sei richtig auch jeder n+1- te
> wert richtig ist.
> [mm]6^{n+3}+7^{2n+3}=[/mm] k43 [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]6^{n+2}*6+7^{2n+1}*49=[/mm] k43
Schreib erst die Induktionsvoraussetzung hin: nämlich die Annahme, dass
es [mm] k\in\IN [/mm] gibt mit
[mm] 6^{n+2}+7^{2n+1}=k\cdot [/mm] 43
Daraus musst Du dann herleiten, dass
dann es ein [mm] k'\in\IN [/mm] gibt mit
[mm] 6^{n+3}+7^{2n+3}= k'\cdot [/mm] 43
Es ist in der Tat
[mm] 6^{n+3}+7^{2n+3}= k'\cdot [/mm] 43 = [mm] 6\cdot 6^{n+2} [/mm] + [mm] 49\cdot 7^{2n+1}
[/mm]
= [mm] 6\cdot (6^{n+2}\: +\: \ldots [/mm] ) [mm] \:\: +\:\: \ldots
[/mm]
Wenn Du nun diese angedeutete Umformung richtig ausführst, so kannst Du dann in der Tat ein solches k'
angeben, das von k abhängt.
Gruss,
Mathias
>
> Da durch die induktion nur ein weiterer faktor
> zu meinen beiden summanden (welche nach vorraussetzung
> stimmen) dazukamm bleibt die formel für alle n durch 43
> teilbar
>
> Stimmt das?
>
>
|
|
|
|
