beweis duale abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Sa 07.01.2006 | | Autor: | delmio |
hallo an alle!
ich soll folgende aufgabe lösen, bzw. beweisen, aber ich weiß nicht, wie ich den beweis angehen soll:
seien V,W endlichdimensionale k-Vektorräume, f: V --> W linear.
beweisen sie:
a) f** = f
b) ist f surjektiv, so ist f* injektiv
kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen oder mir einen tipp geben?
danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Sa 07.01.2006 | | Autor: | delmio |
tut mir leid, ich hab ganz vergessen, zu erwähnen, dass ich diese frage in keinem forum auf einer anderen internetseite gestellt habe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Sa 07.01.2006 | | Autor: | choosy |
Hattet ihr schon das die duale abbildung durch die transponierte matrix gegeben ist?
damit wär dann ales klar...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Sa 07.01.2006 | | Autor: | delmio |
nein, hatten wir leider noch nicht... wir haben im zusammenhang mit dualen abbildungen gar nichts mit matrizen gemacht...
kannst du mir trotzdem weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> hallo an alle!
>
> ich soll folgende aufgabe lösen, bzw. beweisen, aber ich
> weiß nicht, wie ich den beweis angehen soll:
>
> seien V,W endlichdimensionale k-Vektorräume, f: V --> W
> linear.
> beweisen sie:
> a) f** = f
Ich nehme mal an, ihr habt $V^*$ als die Menge der Linearformen $V [mm] \to [/mm] k$ definiert, und $f^*$ dann als die Abbildung $W^* [mm] \to [/mm] V^*$, die einer Linearform $g : W [mm] \to [/mm] k$ die Linearform $g [mm] \circ [/mm] f : V [mm] \to [/mm] k$ zuweist.
So. Nun habt ihr irgendwo gezeigt, dass $V = [mm] V^{**}$ [/mm] ist, wobei das Gleichheitszeichen keine echte Gleichheit, sondern ein kanonischer Isomorphismus ist. Sei dieser etwa mit [mm] $\varphi_V [/mm] : [mm] V^{**} \to [/mm] V$ bezeichnet, und der fuer $W$ mit [mm] $\varphi_W [/mm] : [mm] W^{**} \to [/mm] W$. Dann bedeutet $f = [mm] f^{**}$ [/mm] hier gerade, dass [mm] $f^{**} [/mm] = [mm] \varphi_W \circ [/mm] f [mm] \circ \varphi_V$ [/mm] ist. (Bzw. andersherum wenn ihr die Isomorphismen a la $V [mm] \to V^{**}$ [/mm] definiert habt, das umzustellen solltest du mal selber probieren.)
Und das rechnest du jetzt nach, indem du dir ein Element aus [mm] $V^{**}$ [/mm] nimmst und das auf beiden Seiten einsetzt: wenn dasselbe herauskommt, sind die Abbildungen [mm] $V^{**} \to W^{**}$ [/mm] gleich.
> b) ist f surjektiv, so ist f* injektiv
Das kannst du einfach direkt nachrechnen. Nimm an [mm] $f^*(\varphi) [/mm] = 0$ fuer eine Linearform [mm] $\varphi [/mm] : W [mm] \to [/mm] k$. Dann musst du zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] bereits gleich $0$ ist, also [mm] $\varphi(w) [/mm] = 0$ fuer alle $w [mm] \in [/mm] W$. Und jetzt schau dir mal die Definition von [mm] $\varphi(w)$ [/mm] an.
HTH & LG, Felix
|
|
|
|
