beschränktheit komplexer folge < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] a(n):=(i+\bruch{a+ib}{n^{2}})^{n} [/mm] |
ich kann einfach keine schranke finden,kann mir jemand sagen ,denn ich habe
doch die in frage kommenden häufungspunkte gefunden(i und -i)?das doofe ist eben das die n-te potenz genommen wird und a,b [mm] \in\IR [/mm] beide negativ,positiv oder verschiedene vorzeichen haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Do 11.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
für große n willst Du doch zeigen, dass
a(n)= [mm] (i+\frac{z}{n^2})^n \approx i^n
[/mm]
gilt (mit z=a+bi). Aber [mm] i^0=1, i^1=i, i^2=(-1),i^3=(-i),i^4=1,etc. [/mm] mit Periode 4. D.h. die Häufungspunkte sollten 1,i,(-1) und (-i) sein.
Volker
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ja n [mm] \in\IN [/mm] de3swegen nicht die 1.
aber ,wenn es häufungspunkte geben soll,muss auch eine oder zwei schranken vorhanden sein,die ich verzweifelt suche.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Do 11.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
"Schranke" wie im reellen gibts für komplexe Zahlen nicht, denn sie sind nicht angeordnet.( d.h.z1<z2 macht keinen Sinn)
Du kannst höchstens ne Schranke für |an| finden.
den Satz:ja n $ [mm] \in\IN [/mm] $ de3swegen nicht die 1
versteh ich nicht 4,8,12 usw sind doch natürliche Zahlen und [mm] i^4=i^8=1?
[/mm]
was war denn die Aufgabe?
Gruss leduart
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die häufungspunkte sollte ich im komplexen,also in [mm] \IC [/mm] finden .1 gehört doch nicht dazu(oder etwa 1+0i?),bei der schranke stand nichts,man sollte einfach nur nach beschränktheit prüfen,gibt es denn eine reelle schranke?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Do 11.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
1 gehört zu den Komplexen Zahlen! Denn die Komplexen Zahlen sind auf den reellen aufgebaut und auch in den Reellen Zahlen ist die 1 mit dabei! Bei den Komplexen Zahlen sind sozusagen alle reellen zahlen dabei plus dem "zusatz" damit es komplexe sind, also i etc wird noch dazu gefügt!
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gibt es denn eine schranke im reellen von dieser folge?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}({\bruch{a}{n^{2}}})^{n}
[/mm]
wobei auch das b später im reellen auftaucht,das ich aber wegen vorzeichenwechsel sowieso abschätzen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 13.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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also ich habe herumprobiert mit zahlen ,und denke ,dass die folge unbeschränkt ist(im reellen).was kann ich denn für unbeschränktheit zeigen?
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ok ,dann kann ich vielleicht eine schranke für |a(n)| finden.aber wie soll man denn da vorgehen?
ich weiss ,dass gilt [mm] :Re(z)\le|z| [/mm] aber das bringt mich hier auch nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Die Behauptung über die Häufungspunkte 1,i,-1,-i folgt, falls Du zeigen kannst, dass
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{w}{n^2})^n=1, [/mm]
denn man kann ja ausklammern:
[mm] (i+\frac{z}{n^2})^n=i^n (1+\frac{w}{n^2})^n [/mm]
mit [mm] w=\frac{z}{i}=\frac{a+bi}{i}=b-ai. [/mm] Um nun
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{w}{n^2})^n=1
[/mm]
zu zeigen, kannst Du die eulersche Identität
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{v}{n})^n=e^v
[/mm]
benutzen, wenn Du [mm] v\in\IC [/mm] mit [mm] v^2=-w [/mm] wählst. Dann gilt mit der dritten Binomischen Formel und einem Grenzwertsatz
[mm] {\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{w}{n^2})^n=
\lim_{n\rightarrow \infty}\left((1+\frac{v}{n})(1+\frac{(-v)}{n})\right)^n=
\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{v}{n})^n \lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{(-v)}{n})^n=
e^{v}e^{-v}=1}.
[/mm]
Falls Du die eulersche Identität nicht verwenden kannst, würde ich mir trotzdem mal einen Beweis davon anschauen und ihn geeignet modifizieren, um die beötigte Grenzwertaussage direkt zu erhalten.
Gruß,
Volker
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danke,den euler hatte ich später noch entdeckt,damit kam ich weiter
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