beschränkte Menge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Sei X ein Banachraum.
(i) Eine Menge M [mm] \subset [/mm] X ist genau dann beschränkt, wenn |f(x)| [mm] \leq K_f [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M und alle f [mm] \in [/mm] X'.
(ii) Eine Menge M' [mm] \subset [/mm] X' ist genau dann beschränkt, wenn |f(x)| [mm] \leq K_x [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] M' und alle x [mm] \in [/mm] X. |
Hallo,
wie kann man diese Behauptungen zeigen? Sieht irgendwie nach Banach-Steinhaus aus, aber ich weiß nicht wie ich den hier wirklich anwenden kann.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu (i)
Fasse jedes x [mm] \in [/mm] M als ein Element des Biduals auf und verwende Banach Steinhaus
(ii) geht ähnlich
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
warum kann ich X mit X'' identifizieren, wenn der Banachraum hier gar nicht reflexiv ist?
Und B-S sagt ja(mit entspr. Vss), dass wenn [mm] \{ T_i \} [/mm] punktweise beschränkt ist [mm] (T_i \in [/mm] L(X,Y)), dass [mm] \{ T_i \} [/mm] dann sogar gleichmäßig beschränkt ist.
- Und dann hatten wir noch eine andere Version (oder vielleicht besser Folgerung) von BS, dass [mm] T_n [/mm] genau dann punktweise gegen T konvergiert, wenn [mm] \|T_n\| \leq [/mm] K < [mm] \infty [/mm] und lim [mm] T_n [/mm] x = Tx für x aus abzählbar dichten Teilmenge von X.
Was bedeutet M beschränkt in Formeln? Ich habe etwas gefunden wie dass es dann zu jeder Nullumgebung en [mm] \alpha [/mm] > 0 geben muss mit M [mm] \subset \alpha [/mm] U, das hilft mir aber nicht um BS anwenden zu können... *help*
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley
> warum kann ich X mit X'' identifizieren, wenn der
> Banachraum hier gar nicht reflexiv ist?
Das sollst du doch gar nicht. Was du immer kannst ist $X$ in $X''$ einbetten -- und somit jedes Element aus $X$ als ein Element in $X''$ auffassen. Das nicht jedes Element von $X''$ von dieser Form ist brauchst du hier gar nicht.
> Und B-S sagt ja(mit entspr. Vss), dass wenn [mm]\{ T_i \}[/mm]
> punktweise beschränkt ist [mm](T_i \in[/mm] L(X,Y)), dass [mm]\{ T_i \}[/mm]
> dann sogar gleichmäßig beschränkt ist.
>
> - Und dann hatten wir noch eine andere Version (oder
> vielleicht besser Folgerung) von BS, dass [mm]T_n[/mm] genau dann
> punktweise gegen T konvergiert, wenn [mm]\|T_n\| \leq[/mm] K <
> [mm]\infty[/mm] und lim [mm]T_n[/mm] x = Tx für x aus abzählbar dichten
> Teilmenge von X.
>
> Was bedeutet M beschränkt in Formeln? Ich habe etwas
> gefunden wie dass es dann zu jeder Nullumgebung en [mm]\alpha[/mm] >
> 0 geben muss mit M [mm]\subset \alpha[/mm] U, das hilft mir aber
> nicht um BS anwenden zu können... *help*
Nun, $M$ ist genau dann beschraenkt, wenn es ein $C > 0$ gibt mit [mm] $\|m\| \le [/mm] C$ fuer alle $m [mm] \in [/mm] M$. Oder anders gesagt: [mm] $\sup_{m \in M} \| [/mm] m [mm] \| [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Das sollte dir auch einen Tipp geben, wie du Banach-Steinhaus hier benutzen kannst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 28.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Felix,
danke für die Hinweise! Ich hab es nun so versucht:
(ii)
M' [mm] \subset [/mm] X beschränkt
[mm] \gdw \| [/mm] f [mm] \| \leq [/mm] C < [mm] \infty \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M
[mm] \gdw [/mm] (BS) [mm] \|f(x)\| \leq K_x \; \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X, [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M' und hier im Körper ist die Norm ja gerade der Betrag, also [mm] \|f(x)\| [/mm] = |f(x)|.
Aber dann steht es ja irgendwie auch schon da. Aus gleichmäßiger Beschränktheit folgt punktweise Beschr. sowieso, oder? Und die Rückrichtung ist dann mit B-S, dass man von pktw. Konv. unter den Vss auf glmg Konv. schließen kann?
(i)
M [mm] \subset [/mm] X beschränkt
[mm] \gdw \| [/mm] x [mm] \| \leq [/mm] C < [mm] \infty \; \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M
[mm] \gdw [/mm] (BS) [mm] \| [/mm] f(x) [mm] \| \leq K_f \; \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M, [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] X'.
Hm, wenn ich aber so wie du geschrieben hast (danke für die Erkl.!) x nun auffasse wie ein Element aus X'', d.h. x : X' [mm] \rightarrow [/mm] K, dann müsste ich doch eher x(f) schreiben... oder?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 28.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir (i) mal vor:
1. Sei M beschränkt. Dann ex. ein c >0 mit : $||x|| [mm] \le [/mm] c$ für jedes x in M
Für f [mm] \in [/mm] X' setze [mm] $K_f [/mm] = c||f||$. dann gilt
$|f(x)| [mm] \le [/mm] ||f|| ||x|| [mm] \le [/mm] c||f|| = [mm] K_f$ [/mm] für jedes x in M.
2. Vor.: Zu jedem f [mm] \in [/mm] X' gibt es ein [mm] K_f [/mm] mit: $|f(x)| [mm] \le K_f$ [/mm] für jedes x in M
Fasse nun M als Teilmenge des Biduals X'' auf. Die Vor. lautet dann: M ist punktweise beschränkt. Nach dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist M beschränkt ,als Teilmenge von X'', und damit ist M beschränkt.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:25 Di 28.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Fred!
Danke für deine Hilfe!
> Ich mach Dir (i) mal vor:
>
> 1. Sei M beschränkt. Dann ex. ein c >0 mit : [mm]||x|| \le c[/mm]
> für jedes x in M
>
> Für f [mm]\in[/mm] X' setze [mm]K_f = c||f||[/mm]. dann gilt
>
> [mm]|f(x)| \le ||f|| ||x|| \le c||f|| = K_f[/mm] für jedes x in M.
Eine dumme Frage hier noch, warum kann das [mm] \|f\| [/mm] nicht gegen unendlich abschwirren? Ist es doch ein bestimmtes?
Und du schreibst für jedes x [mm] \in [/mm] M, hat das einen Grund, dass du nicht "für alle" schreibst und in der Aufagbenstellung steht ja auch noch für alle x [mm] \in [/mm] X' - das verwirrt mich etwas...
> 2. Vor.: Zu jedem f [mm]\in[/mm] X' gibt es ein [mm]K_f[/mm] mit: [mm]|f(x)| \le K_f[/mm]
> für jedes x in M
>
> Fasse nun M als Teilmenge des Biduals X'' auf. Die Vor.
> lautet dann: M ist punktweise beschränkt. Nach dem Prinzip
> der gleichmäßigen Beschränktheit ist M beschränkt ,als
> Teilmenge von X'', und damit ist M beschränkt.
(ii) versuche ich gleich analog.
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 30.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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