beschränkte M und Definition < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | G19:Skizziere oder bennene folgende Mengen (dicke Linien bedeuten, dass Punkte auf der Linie zur Menge gehören). Prüfe bei den Mengen jeweils, ob sie offen, abgeschlossen, beschränkt, kompakt sind. |
| Aufgabe 2 | | H21: Skizziere oder bennene folgende Mengen (dicke Linien bedeuten, dass die Punkte auf der Linie zur Menge gehören). Prüfe bei den Mengen jeweils, ob sie offen, abgeschlossen, beschränkt, kompakt sind, Gib außerdem die Menge der Randpunkte der jerweiligen Mengen an. |
Hoffe, in diesem Unterforum hier richtig zu sein. Also ich höre gerade Mathematik für Bau-Ing. 2, wir hatten bis jetzt Lineare Algebra, Matrizen usw. und beginnen jetzt mit dem neuen Thema Differentialrechnung und Integralrechnung von Funktionen mehrere Veränderlicher, vorerst nur mit reellwertigen Funktionen.
Jetzt haben wir für die Begriffe der Stetigkeit und Grenzwertbetrachtung neue Mengenbegriffe wie offene Menge, abgeschlossene, beschränkte und kompakte gelernt. Dazu die neue Hausübung, soviel also zum Vorwissen.
An den entsprechenden Stellen werde ich dann auch unsere Definitionen aufschreiben.
G19
Zunächst geht es mir in folgendem Bild um die Angabe der Menge D.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier soll man die Menge angeben. Also sofort klar war mir :
[mm] $D=\{(x,y) \in \IR^2: y \le -\bruch{5}{4}x+4, y \le \bruch{5}{2}x+4, y > \bruch{1}{4}x-2\}.$
[/mm]
Damit hätte man die zwei Geraden, die zum Rand [mm] \partialD [/mm] gehören, sowie die untere Gerade, die ja nicht zu D gehören soll. Probleme bereitet mir jetzt die letzte Gerade zwischen D und C. Dies muss ich ja abschnittsweise definieren, sonst würde mir die Bedingung y [mm] \le [/mm] x+1 ja ein Teil der Menge "klauen", der unterhalb der Geraden [mm] -\bruch{5}{2}+4 [/mm] ist. Daher war meine Idee, D so zu schreiben, nur habe ich das bei Mengen noch nie gesehen, kenne ich nur von Funktionen:
[mm] $D=\{(x,y) \in \IR^2: y \le -\bruch{5}{4}x+4, y \le \bruch{5}{2}x+4, y > \bruch{1}{4}x-2, y \le x+1 \ \text{für} \ x \le -2 \}$
[/mm]
Damit sollten allen Fälle erfasst sein. Gibt es hier eine andere, richtige Schreibweise?
Nun wäre diese Menge ja weder offen noch abgeschlossen, da ein Teil des Randes [mm] $\partial [/mm] D$ ja [mm] $\in [/mm] D$ ist und ein Teil nicht. Jetzt aber die Frage nach der Beschränktheit. BISHER dachte ich, Beschränktheit bedeutet immer, dass das Gebilde/die Menge eine Kugel bzw. hier ein Kreis sein muss, damit jeder Punkt vom Mittelpunkt M maximal den Abstand r hat. Jetzt habe ich aber nochmal genau unsere Definition gelesen und habe neu nachgedacht:
Eine Teilmenge A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] heißt beschränkt, falls eine Konstante K > 0 existiert, so dass
[mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] < K$ gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A
Ich denke, es dürfte auch kleiner gleich anstatt echt kleiner heißen, aber das sei hier mal egal. Nun ist meine Menge D ja kein Kreis, daher dachte ich zunächst, natürlich nicht beschränkt, ABER nach dieser Definition reicht es ja, wenn jedes Element von A einen Abstand hat, der echt kleiner (oder kleiner gleich) einer Konstante K > 0 ist. Damit wäre meine neue Definition:
Eine Menge A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] heißt beschränkt, wenn all ihre Elemente eine euklidische Norm (also ihren Abstand) kleiner (gleich) einer Konstante K >0 besitzen. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass alle Elemente von A innerhalb eines Kreises um den Ursprung mit dem Radius kleiner (gleich) K sein müssen.
Nach diesem Kriterium wäre A beschränkt, weil
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stimmt das?.
Dann würde ich auch gerne wissen, ob ich demzufolge hier richtig gedacht habe.
H21
Menge A war angegeben mit:
[mm] $A=\{(x,y)\in \IR^2 : |x-1| \le y \le 4 \}.
[/mm]
Das heißt für mich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Demzufolge wäre auch A beschränkt, hier auch abgeschlossen, weil alle Punkte einen kleineren Abstand als den Radius des Umkreises (oder des Kreises vom Mittelpunkt aus) haben. Der Rand wäre dann ja
[mm] $\partial A=\{(x,y)\in \IR^2 : |x-1| = y \cap y = 4 \}.$
[/mm]
Wie gibt man hier konkret den Rand an? Also was er graphisch ist ist mir klar, es geht mir vor allem um die Notation. Er muss ja aus den beiden Teilstücken der Betragsgleichung von -2 bis 1 und von 1 bis 5 bestehen sowie aus der Parallelen zur x-Achse y=4. Gebe ich beides mit Komma getrennt an, würden beide Bedingungen gelten und das wäre nur für zwei Punkte erfüllt. Gebe ich es mit "+" an gibt es auch keinen Sinn. Ich müsste ja beide Mengen getrennt angeben und der Rand wäre die Vereinigung, daher habe ich das Zeichen gewählt. Oder einfach wie bei Gleichungen das und Zeichen [mm] \vee [/mm] ?
Vielen Dank für diejenigen von euch, die bis hierher lesen (oder mir in Teilen antworten, was mir auch sehr weiterhilft)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Sa 11.06.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> G19:Skizziere oder bennene folgende Mengen (dicke Linien
> bedeuten, dass Punkte auf der Linie zur Menge gehören).
> Prüfe bei den Mengen jeweils, ob sie offen, abgeschlossen,
> beschränkt, kompakt sind.
>
>
>
> H21: Skizziere oder bennene folgende Mengen (dicke Linien
> bedeuten, dass die Punkte auf der Linie zur Menge
> gehören). Prüfe bei den Mengen jeweils, ob sie offen,
> abgeschlossen, beschränkt, kompakt sind, Gib außerdem die
> Menge der Randpunkte der jerweiligen Mengen an.
>
>
>
> Hoffe, in diesem Unterforum hier richtig zu sein. Also ich
> höre gerade Mathematik für Bau-Ing. 2, wir hatten bis
> jetzt Lineare Algebra, Matrizen usw. und beginnen jetzt mit
> dem neuen Thema Differentialrechnung und Integralrechnung
> von Funktionen mehrere Veränderlicher, vorerst nur mit
> reellwertigen Funktionen.
>
> Jetzt haben wir für die Begriffe der Stetigkeit und
> Grenzwertbetrachtung neue Mengenbegriffe wie offene Menge,
> abgeschlossene, beschränkte und kompakte gelernt. Dazu die
> neue Hausübung, soviel also zum Vorwissen.
>
> An den entsprechenden Stellen werde ich dann auch unsere
> Definitionen aufschreiben.
>
>
> G19
>
> Zunächst geht es mir in folgendem Bild um die Angabe der
> Menge D.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hier soll man die Menge angeben. Also sofort klar war mir
> :
>
> [mm]D=\{(x,y) \in \IR^2: y \le -\bruch{5}{4}x+4, y \le \bruch{5}{2}x+4, y > \bruch{1}{4}x-2\}.[/mm]
Das Komma kann man als logisches "und" interpretieren,
oder auch so schreiben:
[mm]D=\{(x,y) \in \IR^2: y \le -\bruch{5}{4}x+4 \wedge y \le \bruch{5}{2}x+4 \wedge y > \bruch{1}{4}x-2\}[/mm],
oder äquivalent als Schnitt von Mengen:
[mm]D=\{(x,y) \in \IR^2: y \le -\bruch{5}{4}x+4\} \cap \{(x,y) \in \IR^2:y \le \bruch{5}{2}x+4\} \cap \{(x,y) \in \IR^2: y > \bruch{1}{4}x-2\}[/mm].
Allerdings erfasst diese Darstellung nicht die in der Zeichnung dargestellte Menge,
sondern nur einen Teil dieser Menge. Die Gerade durch A und C ist verlängert bis sie
die Gerade durch D und B schneidet.
Eine Möglichkeit für die ganze Menge ist:
[mm]D=\{(x,y) \in \IR^2: y \le -\bruch{5}{4}x+4 \wedge y \le \bruch{5}{2}x+4 \wedge y > \bruch{1}{4}x-2 \wedge -2 \le x \le 4\} \cup \{(x,y) \in \IR^2:-4 \le x \le-2 \wedge y \le x+1 \wedge y > \bruch{1}{4}x-2 \}[/mm].
>
> Damit hätte man die zwei Geraden, die zum Rand [mm]\partialD[/mm]
> gehören, sowie die untere Gerade, die ja nicht zu D
> gehören soll. Probleme bereitet mir jetzt die letzte
> Gerade zwischen D und C. Dies muss ich ja abschnittsweise
> definieren, sonst würde mir die Bedingung y [mm]\le[/mm] x+1 ja ein
> Teil der Menge "klauen", der unterhalb der Geraden
> [mm]-\bruch{5}{2}+4[/mm] ist. Daher war meine Idee, D so zu
> schreiben, nur habe ich das bei Mengen noch nie gesehen,
> kenne ich nur von Funktionen:
>
> [mm]D=\{(x,y) \in \IR^2: y \le -\bruch{5}{4}x+4, y \le \bruch{5}{2}x+4, y > \bruch{1}{4}x-2, y \le x+1 \ \text{für} \ x \le -2 \}[/mm]
>
> Damit sollten allen Fälle erfasst sein. Gibt es hier eine
> andere, richtige Schreibweise?
Besser als Vereinigung von Mengen schreiben. Siehe oben.
Wäre die Menge konvex (ohne so einen Knick nach innen wie bei C), ginge
es als Durchschnitte von Mengen, die mit Geraden beschrieben sind wie z.B. [mm]\{(x,y) \in \IR^2: y \le -\bruch{5}{4}x+4\}[/mm].
>
> Nun wäre diese Menge ja weder offen noch abgeschlossen, da
> ein Teil des Randes [mm]\partial D[/mm] ja [mm]\in D[/mm] ist und ein Teil
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nicht. Jetzt aber die Frage nach der Beschränktheit.
> BISHER dachte ich, Beschränktheit bedeutet immer, dass das
> Gebilde/die Menge eine Kugel bzw. hier ein Kreis sein muss,
> damit jeder Punkt vom Mittelpunkt M maximal den Abstand r
> hat. Jetzt habe ich aber nochmal genau unsere Definition
> gelesen und habe neu nachgedacht:
>
>
> Eine Teilmenge A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] heißt beschränkt, falls
> eine Konstante K > 0 existiert, so dass
> [mm]\parallel x \parallel < K[/mm] gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A
>
>
> Ich denke, es dürfte auch kleiner gleich anstatt echt
> kleiner heißen, aber das sei hier mal egal. Nun ist meine
> Menge D ja kein Kreis, daher dachte ich zunächst,
> natürlich nicht beschränkt, ABER nach dieser Definition
> reicht es ja, wenn jedes Element von A einen Abstand hat,
> der echt kleiner (oder kleiner gleich) einer Konstante K >
> 0 ist. Damit wäre meine neue Definition:
>
> Eine Menge A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] heißt beschränkt, wenn all
> ihre Elemente eine euklidische Norm (also ihren Abstand)
> kleiner (gleich) einer Konstante K >0 besitzen. Dies ist
> gleichbedeutend mit der Forderung, dass alle Elemente von A
> innerhalb eines Kreises um den Ursprung mit dem Radius
> kleiner (gleich) K sein müssen.
>
> Nach diesem Kriterium wäre A beschränkt, weil
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Stimmt das?.
Ja
>
> Dann würde ich auch gerne wissen, ob ich demzufolge hier
> richtig gedacht habe.
>
> H21
>
> Menge A war angegeben mit:
>
> [mm]$A=\{(x,y)\in \IR^2 : |x-1| \le y \le 4 \}.[/mm]
>
> Das heißt für mich:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Der Punkt B müsste die Koordinaten (-3;4) haben.
> Demzufolge wäre auch A beschränkt, hier auch
> abgeschlossen, weil alle Punkte einen kleineren Abstand als
> den Radius des Umkreises (oder des Kreises vom Mittelpunkt
> aus) haben. Der Rand wäre dann ja
>
> [mm]\partial A=\{(x,y)\in \IR^2 : |x-1| = y \cap y = 4 \}.[/mm]
>
> Wie gibt man hier konkret den Rand an? Also was er
> graphisch ist ist mir klar, es geht mir vor allem um die
> Notation. Er muss ja aus den beiden Teilstücken der
> Betragsgleichung von -2 bis 1 und von 1 bis 5 bestehen
> sowie aus der Parallelen zur x-Achse y=4. Gebe ich beides
> mit Komma getrennt an, würden beide Bedingungen gelten und
> das wäre nur für zwei Punkte erfüllt. Gebe ich es mit
> "+" an gibt es auch keinen Sinn. Ich müsste ja beide
> Mengen getrennt angeben und der Rand wäre die Vereinigung,
> daher habe ich das Zeichen gewählt. Oder einfach wie bei
> Gleichungen das und Zeichen [mm]\vee[/mm] ?
[mm]\partial A=\{(x,y)\in \IR^2 : -3 \le x \le 5 \wedge y = 4 \} \cup \{(x,y)\in \IR^2 : -3 \le x \le 1 \wedge y = -x+1 \} \cup \{(x,y)\in \IR^2 : 1 \le x \le 5 \wedge y = x - 1 \}[/mm]
Am einfachsten stückweise zusammengesetzt.
>
> Vielen Dank für diejenigen von euch, die bis hierher lesen
> (oder mir in Teilen antworten, was mir auch sehr
> weiterhilft)
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Adamantin |
Super, das ist eine perfekte Antwort, wie ich sie mir vorgestellt habe, hilft mir sehr weiter, im Grunde waren also alle Ansätze korrekt und jetzt weiß ich auch die richtige Formulierung, wenn man das Komma einfach als Vereinigung deutet und es auch mal so aufschreibt, ist es wirklich nicht mehr so schwer, ich habe es mir nur umständlich schwer machen wollen durch EINE Notation aber wenn es mathematisch ebenso einwandfrei durch eine Verkettung mehrerer Mengen geht, dann wähle ich als Lösung diese Variante.
Ich danke vielmals für die Mühe ;)
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