bel oft diff'bar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Funktion f : [mm] \IC \to \IC [/mm] mit
[mm] f(z)=\begin{cases} \bruch{e^z-1-z}{z^2}, & \mbox{für } z \mbox{ ungleich 0} \\ 0.5 & \mbox{für } z \mbox{ =0} \end{cases}
[/mm]
ist beliebig oft di erenzierbar auf [mm] \IC. [/mm] |
so hab ma so angefangen
[mm] f=\bruch{1}{z^2}*\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{z^i}{i!})-\bruch{1}{z^2}-\bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{z^{i-2}}{i!})-\bruch{1}{z^2}-\bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=2}^{\infty}(\bruch{z^i}{(i+2)!})-\bruch{1}{z^2}-\bruch{1}{z}
[/mm]
hab ich überhaupt richtig angefangen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:08 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Die Funktion f : [mm]\IC \to \IC[/mm] mit
> [mm]f(z)=\begin{cases} \bruch{e^z-1-z}{z^2}, & \mbox{für } z \mbox{ ungleich 0} \\ 0.5 & \mbox{für } z \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
>
> ist beliebig oft di erenzierbar auf [mm]\IC.[/mm]
> so hab ma so angefangen
>
> [mm]f=\bruch{1}{z^2}*\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{z^i}{i!})-\bruch{1}{z^2}-\bruch{1}{z}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{z^{i-2}}{i!})-\bruch{1}{z^2}-\bruch{1}{z}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=2}^{\infty}(\bruch{z^i}{(i+2)!})-\bruch{1}{z^2}-\bruch{1}{z}[/mm]
>
> hab ich überhaupt richtig angefangen?
Nein. Die letzte Zeile müßte lauten:[mm]=\summe_{i=-2}^{\infty}(\bruch{z^i}{(i+2)!})-\bruch{1}{z^2}-\bruch{1}{z}[/mm]
Manchmal ist es gut , wenn man Summen ausschreibt.
Es ist
[mm] $e^z-1-z [/mm] = [mm] \bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^3}{3!}+ [/mm] ......$
Also
[mm] $\bruch{e^z-1-z}{z^2}= \bruch{1}{2!}+\bruch{z}{3!}+ [/mm] ......$
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
hab ehrlich gesagt garnicht so genau die definition von beliebig oft differenzierbar verstanden.
> Es ist
>
>
> [mm]e^z-1-z = \bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^3}{3!}+ ......[/mm]
>
> Also
>
> [mm]\bruch{e^z-1-z}{z^2}= \bruch{1}{2!}+\bruch{z}{3!}+ ......[/mm]
bin mir aber sicher das 1/2 rauskommt, das wird nämlich perfekt zur nächsten aufg passen, aber diese summe scheint größer zu sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> hab ehrlich gesagt garnicht so genau die definition von
> beliebig oft differenzierbar verstanden.
>
> > Es ist
> >
> >
> > [mm]e^z-1-z = \bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^3}{3!}+ ......[/mm]
> >
> > Also
> >
> > [mm]\bruch{e^z-1-z}{z^2}= \bruch{1}{2!}+\bruch{z}{3!}+ ......[/mm]
>
> bin mir aber sicher das 1/2 rauskommt,
???????????????????????
[mm]\bruch{e^z-1-z}{z^2}= \bruch{1}{2!}+\bruch{z}{3!}+ ...... \to 1/2[/mm] für $z [mm] \to [/mm] 0$
!!!!!
Damit ist
$ [mm] f(z)=\begin{cases} \bruch{e^z-1-z}{z^2}, & \mbox{für } z \mbox{ ungleich 0} \\ 0.5 & \mbox{für } z \mbox{ =0} \end{cases} [/mm] $
die Summenfunktion einer auf ganz [mm] \IC [/mm] konvergenten Potenzreihe und somit auf [mm] \IC [/mm] beliebig oft differenzierbar
f heißt beliebig oft differenzierbar, wenn f Ableitungen jeder Ordnung besitzt.
FRED
> das wird nämlich
> perfekt zur nächsten aufg passen, aber diese summe scheint
> größer zu sein
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Di 12.05.2009 | | Autor: | Kinghenni |
okay ich hab jetzt im inet ne begrüdung gefunden mit deiner form warum das unendlich oft diff'bar ist aber wir hatten nur sowas mit konvergenzradius
|
|
|
|
