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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:47 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Fussel |
Hallo,
ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt.
Als Nichtmathematiker lese ich gerade "Topologie für Architekten", als Publikation in Vorbereitung runterladbar, und da fällt mir natürlich vieles schwer zu kapieren. Meine konkrete Frage betrifft die Definition von CW-Komplexen:
"schwache Topologie. Eine Teilmenge V des zellenzerlegten Raums ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Schnittmenge von V mit den abgeschlossenen Hüllen jeder Zelle abgeschlossen ist"
Es geht darum, unter welchen Bedingungen unendlich viele Zellen zugelassen werden können.
Deshalb nehme ich an, es hat etwas damit zu tun, das unendliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen im Unterschied zu endlichen Vereinigungen nicht abgeschlossen sein müssen, oder?
Mir ist das nicht klar. Ich wäre dankbar für (am liebsten anschauliche) Beispiele/ Erläuterungen. (schwache Topologie ist, scheint mir, nicht gleichbedeutend mit grobe Topologie, SEcki )
Liebe Grüße,
Fussel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Fussel |
Hallo,
Ich habe nochmal über meine Frage nachgedacht und wüßte gern, ob ich richtig gedacht habe:
Angenommen ich zerlege [mm] \IR [/mm] in 0-Zellen, dies dürfte kein CW-Komplex sein, denn jede Schnittmenge eines beliebigen offenen Intervalls in [mm] \IR [/mm] mit den abgeschlossenen Punkten ist abgeschlossen.
Bilden dagegen die 0-Zellen den Rand einer 2-Zelle in [mm] \IR^{2}, [/mm] und V ist eine Teilmenge des Randes und offen in ihm, wäre die Schnittmenge von V mit der abgeschlossenen Hülle der 2-Zelle nicht abgeschlossen. Andererseits besteht nun die Hülle aus unendlich vielen Zellen, also ist dies auch kein CW-Komplex.
Kann man denn nun daraus folgern, das die Bedingungen "Hüllenendlichkeit" und "schwache Topologie" zusammen dafür sorgen, das in einem CW-Komplex beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen immer abgeschlossen sind?
Über eine Antwort würde ich mich freuen, weil ich halt im Umgang mit all diesen Begriffen unsicher bin und gerne wüßte, ob ichs jetzt ansatzweise verstanden habe oder nicht.
Gruß,
Fussel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 Di 11.04.2006 | | Autor: | topotyp |
zu 1. Richtig!
zu 2. Habe ich nicht verstanden.
zu 3. Falsch! Die beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen eines
CW Raumes ist i.a. nicht abgeschlossen!
[mm] \mathbb{R} [/mm] selbst ist ein CW-Raum (nimm [mm] \mathbb{R} [/mm] als einzige Zelle!) und dort gilt diese Eigenschaft nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Di 11.04.2006 | | Autor: | Fussel |
Sorry, wollte eigentlich keine Mitteilung machen, sondern eine Frage stellen
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:26 Di 11.04.2006 | | Autor: | Fussel |
Zu 2.: Was ich sagen wollte: Angenommen, in einer Zellenzerlegten Fläche besteht der Rand einer 2-Zelle nur aus 0-Zellen. V ist eine Teilmenge der Fläche.
Ist V abgeschlossen, sind alle Schnitte von V mit den abgeschlossenen Hüllen der 2-Zelle und der 0-Zellen abgeschlossen.
Ist V nicht abgeschlossen, ist der Schnitt von V mit der abgeschlossenen Hülle der 2-Zelle nicht abgeschlossen, wenn er nicht leer ist.
Die Bedingung "schwache Topologie" ist also erfüllt.
Die Bedingung "Hüllenendlichkeit" aber nicht. Also ist auch diese Zellenzerlegung kein CW-Komplex.
Zu 3.: Ach, ja, klar. Aber jede Vereinigung abgeschlossener Hüllen von CW-Zellen ist abgeschlossen, wenn sie beschränkt ist, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 12.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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