bedingter Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:05 Di 20.10.2009 | | Autor: | Estha |
Hallo alle zusammen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe diese Frage schon mal hier in Forum für Statistik (Anwendung ) gestellt, aber im Zusammenhang mit einem langen Beweis.
Ich stelle sie hier nochmal, weil dies vielleicht etwas übersichtlicher für mögliche Interessenten ist.
In der folgenden Gleichung bezeichene [mm] P [/mm] die P-Werte, die unabhängig sind. , die [mm]p_1 \le ... \le p_{\bar{k} } [/mm] die geordneten Realisierungen der P-Werte.
Sei [mm] n \in \IN [/mm] so, dass genau die ersten k Null - Hypothesen wahr sind und [mm] \bar{k} = n - k [/mm] Null- Hypothesen falsch sind.
Die [mm] P'_i [/mm] sind die P-werte für wahre Hypothesen und sind gleichverteilt auf (0,1 ). Sei weiterhin [mm] P'_{(k)} = p [/mm]
Dann wurde der folgende bedingte Erwartungswert aufgestellt:
[mm]E ( Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } )[/mm]
(*) [mm]= \integral_{0}^1 E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{p''} E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp + \integral_{p''}^1 E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp [/mm]
1. FRAGE:
Warum gilt (*)? Genau gefragt, warum ist der bedingte Erwartungswert gleich diesem Integral?
Mir ist die folgende Definition des bed. E-Wertes bekannt:
Bedingter Erwartungswert von X unter [mm] Y = y_k [/mm] ist gegeben durch
[mm] E(X|Y=y_k ) := \integral x \cdot P_{X|Y=y_k} (dx) [/mm]
Die Grenzen 0 und 1 denke ich ist wegen der Gleichverteilung auf (0,1), richitg? Aber den Rest kann ich irgendwie nicht zuordnen :-(
In einer weiterführenden Rechnung würden das letzte Integral, welches aus den 2 Teilintegralen besteht separat behandet, und zwar:
Sei nun [mm] Q \equiv \bruch{k}{k + j_0 } [/mm].
[mm] \integral_{0}^{p''} E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{p''} E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) kp^{(´k-1)} (p) dp [/mm]
(**) [mm] = \integral_{0}^{p''} \bruch{k}{k + j_0 } kp^{(´k-1)} (p) dp [/mm]
2. FRAGE: :
Warum verschiendet im (**) der bedingte Erwartungswert?
Ich hoffe, dass mir jemand hier behilflich sein kann!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Estha
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:40 Di 20.10.2009 | | Autor: | Estha |
Ich habe jetzt eine Idee für die Antwort auf meine 1. Frage...
Und zwar kann es sein, dass für (*) die folgende Argumentation gilt:
> [mm]E ( Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } )[/mm]
>
> (*) [mm]= \integral_{0}^1 E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp[/mm]
Da die p-Werte gleichverteilt sind auf (0,1) ist nur dieses offene Intervall von Bedeutung. Dort niimmt die Dichtefunktion den Wert 1 an , ansonsten über all den Wert Null..
Somit sind die beiden Aussagen gleichwertig im offenen Intervall (0,1) ...
Stimmt das so in etwa, oder liege ich total daneben ? :-(
Viele Grüße
Estha
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:20 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Estha |
Guten Abend!
Ich habe mir über meinen Lösungsnasatz zu meiner 1. Frage Gedanken gamacht und bin jetzt fast sicher, dass dies irgendwie nicht alles sein kann. Denn ich habe überstehen, dass im bedingte Erwartungswert, über den jetzt integriert wird auf einmal eine zusätzlich Bedingung steht und zwar, das [mm] P'_{(k)} = p [/mm].
Dies ist der größte p- Wert der wahren Nullhypothesen, der gleichverteilt ist auf (0,1) ! Über die [mm] P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } [/mm] ist bekannt, dass dies die p-Werte sind, die zu den falschen NUllhypothesen gehören und diese sind nicht gleichverteilt auf (0,1).
[mm]E ( Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } )[/mm]
(*) [mm]= \integral_{0}^1 E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp[/mm]
Jetzt hat man so eine Bedingung mit reingeschleust , die gleichverteilt auf (0,1) ist und integriert den bedingten E-Wert von 0 bis 1 mit der Dichtenfunktion am Ende, die zu [mm] P'_{(k)} = p [/mm] gehört.
Warum darf man das und warum ist die das selbe?
Oder bin ich total auf dem Holzweg und es sind irgendwelche Martingale ???
Viele Grüße
Estha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 29.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 So 01.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also ich würde sagen:
allgemein gilt ja: [mm]E(E(X|Y))=E(X) [/mm]
setzte [mm] X = (Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } )[/mm]
dann ist [mm] E( E(X | P'_{(k)} = p) ) = E(X) = E (Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } )[/mm]
[mm] E( E(X | P'_{(k)} = p) ) [/mm] ist dein Integral
gruß
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